명제에는 진리집합이라는 게 있다고 했어요. 이 진리집합을 이용해서 명제의 참, 거짓을 판단해요. 진리집합을 이용하지 않고 반례를 이용하는 경우도 있고요. 두 가지 방법을 다 알고 있다가 문제에 맞게 편리한 방법을 사용하면 돼요.

개인적으로는 명제 단원에서 가장 어려운 내용이라고 생각하는 단원이에요. 명제의 참, 거짓을 판별하는 방법 자체는 어렵지 않지만, 실제 문제에서는 어려워지죠. 진리집합과 반례를 찾는 게 어렵거든요. 한 두 가지씩 빠뜨리는 실수가 많이 나오기도 해요.

반례를 찾는 건 연습이 많이 필요해요. 교과서나 익힘책의 문제를 많이 풀어보세요.

명제의 참, 거짓

두 조건 p, q가 "p이면 q 이다."의 꼴로 되어 있는 명제를 기호로 "p → q" 로 나타내요. 이때 p를 가정, q를 결론이라고 하죠.

명제의 가정과 결론

특히 명제 p → q가 참이면 화살표에 줄을 하나 더 그어서 명제의 참, 거짓 - 참라고 하고, 거짓이면 명제의 참, 거짓 - 거짓라고 해요. 또 p → q도 참이고, q → p도 참이면 명제의 참, 거짓라고 나타냅니다.

명제의 참, 거짓을 판별할 때는 진리집합을 이용하는 게 아주 좋아요. 진리집합의 부분집합의 성질을 이용하거나 벤다이어그램을 이용하는 거죠.

명제 p → q에서 조건 p의 진리집합을 P, 조건 q의 진리집합을 Q라고 할 때
명제의 참, 거짓 - 참이면 P ⊂ Q
명제의 참, 거짓 - 거짓이면 P 부분집합이 아님 Q

위 내용은 거꾸로도 성립해요. 부분집합이면 참, 부분집합이 아니면 거짓이죠.

"x = 1이면 x2 = 1이다."라는 명제가 참인지 거짓인지 알아보죠.

명제: x = 1이면 x2 = 1이다.
p q
조건 x = 1 x2 = 1
진리집합 P = {1} Q = {-1, 1}
부분집합 P ⊂ Q
참, 거짓

이번에는 p와 q를 바꿔서 "x2 = 1이면 x = 1이다."로 해볼까요?

명제: x2 = 1이면 x = 1이다.
p q
조건 x2 = 1 x = 1
진리집합 P = {-1, 1} Q = {1}
부분집합 P 부분집합이 아님 Q
참, 거짓 거짓

반례

명제의 참, 거짓을 알아내는 또 다른 방법은 반례를 이용하는 거예요. 반례는 명제가 거짓이라는 걸 보여주는 예에요.

"자연수 x에 대하여, x가 짝수이면 x < 10이다."라는 명제가 있다고 해보죠.

12, 14, 16, … 처럼 10보다 큰 짝수가 있어요. 따라서 명제가 틀렸어요. 이때, 10보다 크다고 보여줬던 짝수들의 예가 바로 반례에요.

명제가 거짓임을 밝히기 위해서 반례를 보여주면 되는데, 반례는 1개만 있으면 돼요. 위에서 12, 14, 16, …라는 반례를 보여줘도 되지만, 12라는 반례만 보여줘도 명제가 거짓이라는 걸 알 수 있죠?

명제의 참, 거짓
진리집합 이용 - P ⊂ Q이면 참 
반례가 1개라도 있으면 거짓

다음 명제의 참, 거짓을 밝혀라.
(1) x가 6의 약수이면 x는 12의 약수이다.
(2) xy > 0 이면 x > 0, y > 0이다.

(1)을 p → q라고 할 때 P = {1, 2, 3, 6}, Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
P ⊂ Q이므로 p → q는 참

(2) 반례를 이용해 보죠. xy = 1일 때,  x = -1, y = -1이면 x < 0, y < 0이에요.
이 반례를 통해서 명제가 거짓이라는 걸 알 수 있어요.

모든, 어떤이 들어있는 명제의 참, 거짓

모든, 어떤이 들어있는 명제에서 참, 거짓을 확인하는 방법이에요.

"모든", "임의의"라는 단어가 들어간 명제에서는 그 식이 성립하지 않는 x가 하나도 없어야 참이에요. 즉 식이 성립하지 않는 x가 하나라도 있으면 거짓이라는 거죠. 이때 성립하지않는 x가 바로 반례에요.

"모든 실수 x에 대하여 x2 = 1이다."라는 명제가 있어요. x = 2이면 이 x2 = 1이라는 식이 성립하지 않죠. 따라서 이 명제는 거짓이고 이때 x = 2가 반례가 되는 거예요.

"어떤"이 들어가 있는 명제는 식을 만족하는 x가 하나라도 있으면 참이에요. 모든 x에 대해서 성립할 필요가 없어요.

"어떤 실수 x에 대하여 x2 = 1이다."라는 명제에서 x = 1이면 x2 = 1이 성립하죠. 따라서 이 명제는 참인 명제에요.

모든, 임의의 → 반례가 있으면 거짓
어떤 → 하나라도 성립하면 참

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정리해볼까요

명제의 참, 거짓

  • 진리집합을 이용, p → q일 때, 조건 p의 진리집합을 P, 조건 q의 진리집합을 Q라고 하면
    P ⊂ Q이면 참
    P 부분집합이 아님 Q이면 거짓
  • 반례가 하나라도 있으면 거짓
 
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