오늘 공부할 건 매우 중요한 내용이에요. 수학의 기본이 되는 수의 체계에 대한 내용이거든요.

이제까지 알고 있던 모든 수 자연수, 정수, 유리수, 유한소수, 무한소수, 순환소수에 더해서 무리수라는 새로운 이름의 수를 공부할 거예요. 무리수는 새로운 수가 아니라 이미 알고 있는 수에요. 다만 어떤 수를 무리수라고 하는 지 몰랐을 뿐이에요.

실수라는 것도 공부할 건데, 이게 앞으로 수학시간에 계속 사용할 거니까 잘 알고 있어야 해요.

이 글에서는 각 수의 뜻과 특징, 서로를 구별하는 방법, 수의 관계를 이해해야합니다.

무리수와 실수

이제까지 공부했던 수의 체계를 정리해볼까요? 일단 1, 2, 3, ...같은 자연수가 있어요. 자연수(양의 정수)와 0, 자연수에 (-) 부호를 붙인 음의 정수로 나눠지는 정수도 있고요. 분수꼴로 나타낼 수 있는 유리수도 있지요. 집합으로 나타내면 {자연수} ⊂ {정수} ⊂ {유리수}였죠?

유한소수와 무한소수도 공부했어요. 무한소수는 순환하는 무한소수(순환소수)와 순환하지않는 무한소수로 나눌 수 있었죠? 유한소수와 순환소수는 분수로 나타낼 수 있으니 유리수에요. {유한소수} ⊂ {유리수}, {순환소수} ⊂ {유리수}

그럼 분수로 나타낼 수 없는 순환하지 않는 무한소수는 어떤 수에 속할까요? 바로 무리수에 속해요.

무리수는 유리수가 아닌 수예요. 유리수는 분수로 나타낼 수 있으니까 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수죠. 순환하지 않는 무한소수 중 가장 대표적인 게 뭐죠? 바로 π죠. 그 외에도 -root 2, root 0.1처럼 근호가 씌워진 수를 무리수라고 할 수 있어요. 단 root 4, root 1/9처럼 근호를 없앨 수 있는 수는 유리수에요. 이름만 처음 들었다뿐이지 이미 다 알고 있는 수들이죠?

유리수와 무리수의 뜻을 잘 생각해보세요. 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수고, 무리수는 분수로나타낼 수 없는 수에요. 그렇다면 유리수이면서 무리수인 수는 없겠죠? 또 유리수도 아니고 무리수도 아닌 수도 없을 거고요. 따라서 모든 수는 유리수와 무리수로 나눌 수 있는데 이 두가지를 합쳐서 실수라고 합니다. 실수는 실제 수를 말하고 영어로는 Real Number라고 해요.

앞으로 특별한 언급없이 그냥 수라고 한다면 모두 실수라고 생각하면 돼요.

무리수: 유리수가 아닌 수, 분수꼴로 나타낼 수 없는 수, 순환하지 않는 무한소수
            π, 근호를 못 없애는 제곱근
실수: 유리수 + 무리수

무리수와 실수

그림에서 가장 주의깊게 봐야할 건 무한소수에요. 무한소수 중 순환소수는 유리수고, 순환하지 않는 무한소수는 무리수에요.

아래는 위 그림을 벤다이어그램으로 나타낸 건데, 꼭 기억하세요. 수의 체계를 아주 잘 나타내고 있어서 문제에서 자주 나오는 그림이거든요. 이 글에서는 이 그림하나만 기억하면 돼요.

무리수와 실수 - 벤다이어그램

자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수의 집합을 각각 N, Z, Q, I, R이라고 할 때, 다음 설명 중 틀린 것을 모두 고르시오.
(1) Q ∪ I = R
(2) Z ⊂ I
(3) Z ∩ N = Z
(4) IC = Q
(5) Q ∩ I = phi

위의 벤다이어그램을 잘 보세요. {자연수} ⊂ {정수} ⊂ {유리수} ⊂ {실수}, {무리수} ⊂ {실수}에요.

(1) {유리수}와 {무리수}를 합하면 {실수}가 되므로 맞아요.

(2) {정수}는 {무리수}의 부분집합의 아니라 {유리수}의 부분집합이에요. Z ⊂ Q로 바꿔야 맞겠네요.

(3) {자연수} ⊂ {정수}이므로 Z ∩ N = N으로 고쳐야하고요.

(4) 유리수가 아니면 무리수에요. IC = Q가 맞고 거꾸로 QC = I도 성립해요. 

(5) 유리수이면서 무리수인 수는 없으므로 교집합은 공집합이죠.

따라서 답은 (2), (3)입니다.

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정리해볼까요

실수 = 유리수 + 무리수

  • 유리수: 분수꼴로 나타낼 수 있는 수
  • 무리수: 분수꼴로 나타낼 수 없는 수
              유리수가 아닌 수
              순환하지 않는 무한소수, 근호를 못 없애는 수
 
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