순환소수는 분수로 나타낼 수 있어요. 분수로 나타낼 수 있다는 얘기는 유리수라는 얘기죠. 반대로 순환하지 않는 무한소수는 분수로 나타낼 수 없어요. 따라서 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니에요.

이 글에서는 순환소수를 분수로 나타내는 방법을 공부할 거예요. 그냥 글만 보고 이해하기에는 너무 어려운 내용이라서 여러 번 반복해서 읽어봐야 이해가 될 겁니다. 어렵긴 하지만 원리를 이해하면 답을 바로 구할 수 있는 공식도 있으니까 끝까지 집중해서 잘 보세요.

글로 된 설명과 그림을 잘 비교하면서 읽어보세요.

순환소수를 분수로 나타내는 방법

순환소수를 분수로 나타낼 때 가장 중요한 건 10의 거듭제곱을 곱해주는 거예요. 10의 거듭제곱을 곱해서 소수점 이하 자리를 같게 만들어준 다음 없애주는 거지요.

순환소수 을 분수로 나타내보죠. 을 풀어서 쓴 0.33333…을 x라고 해 볼까요?

x = 0.33333… 이걸 ①식이라고 하고, ①의 양변에 10을 곱해보죠.
10x = 3.33333…이 돼요. 이걸 ②식이라고 할게요.

①과 ②의 소수점 이하 부분이 같아요. ②식에서 ①을 빼보죠. 식을 뺄 때는 좌변끼리 빼고, 우변끼리 빼는 거예요.

으로 쓸 수 있어요.

방법이 정말 복잡해서 이해하기 어려운 내용이에요. 잘 보셔야 해요.

순환소수를 분수로 나타내기

  1. 주어진 순환소수를 x로 놓는다.
  2. 소수점이 순환마디 뒤에 오도록 10의 거듭제곱을 곱한다. ……… ②식
  3. 소수점이 순환마디 앞에 오도록 10의 거듭제곱을 곱한다. ……… ③식
  4. ② - ③
  5. 좌변, 우변을 정리 후 x의 계수로 양변을 나눠준다.
  6. 약분

을 분수로 나타내는 과정이에요. 설명하다 보니 숫자가 복잡한데, 실제 이렇게 복잡한 숫자는 나오지 않아요.

약분하면 이 되네요.

다음 순환소수를 분수로 나타낼 때, 가장 편리한 식을 <보기>에서 찾으시오.
<보기> 10x - x, 100x - x, 1000x - x
           100x - 10x, 1000x - 10x
           1000x - 100x

소수점을 옮길 때 얼마를 곱해줘야 하는지 찾는 문제입니다. 소수점이 (순환마디 뒤에 있을 때) - (순환마디 앞에 있을 때)가 되어야 해요.

(1)은 순환마디가 2이므로 2 뒤에 소수점이 오려면 10을 곱해서 10x, 2 앞에 소수점이 있으니까 그냥 그대로 x로 하면 되겠네요. 이 둘을 뺀 10x - x가 가장 편리한 식입니다.

(2)는 순환마디가 34이므로 소수점이 34 뒤에 오려면 1000을 곱해서 1000x, 소수점이 34 앞에 오려면 10을 곱해서 10x가 되므로 1000x - 10x가 되어야 하고요.

(3)은 순환마디가 3으로 소수점이 3 뒤에 오려면 1000을 곱해서 1000x, 소수점이 3 앞에 오려면 100을 곱해서 100x가 되므로 1000x - 100x가 되겠네요.

순환소수를 분수로 나타내는 공식

위의 과정으로 순환소수를 분수로 나타내다 보니 너무 복잡해요. 그래서 결과로 바로 갈 수 있는 공식이 있는데, 이걸 외워야 합니다. 그런데 위 내용을 모르면 공식을 외울 수 없어요. ㅠㅠ

공식이라고 해서 딱 줄여서 쓸 수 있는 표현법이 마땅히 없어요. 설명을 잘 보고 이해하세요.

순환소수를 분수로 나타내는 거니까 분모, 분자가 있겠죠?

분모는 순환마디의 숫자만큼 9를 써줘요. 순환마디가 두 자리면 99, 세 자리면 999를 쓰는 거죠. 그리고 소수점 이하 자리에서 순환마디가 아닌 자리의 개수만큼 9 뒤에 0을 써줘요.

위 그림의 는 순환마디가 3자리이므로 999를 먼저 쓰고 소수점 이하에서 순환마디가 아닌 숫자가 하나 있으니까 뒤에 0을 붙인 9990이 분모가 되는 거예요.

분자는 소수점을 고려하지 않은 전체 수에서 순환하지 않는 부분의 수를 그냥 빼주세요.  에서 소수점을 고려하지 않은 전체 수는 10123이고 순환하지 않는 부분의 수는 10이죠. 10123 - 10 = 10113이 분자가 됩니다.

순환소수를 분수로 나타내는 공식

  1. 분모는 순환마디의 숫자 개수만큼 9를 써주고, 9 뒤에 소수점 이하에서 순환마디가 아닌 숫자의 개수만큼 0을 붙여준다.
  2. 분자 = (소수점을 고려하지 않은 전체 수) - (순환하지 않는 부분의 수)
  3. 분자, 분모를 약분

0.2353535………를 공식을 이용해서 분수로 바꾸는 과정이에요.

순환소수를 분수로 나타내기

다음 순환소수를 분수로 나타내어라.

(1) 순환마디는 1자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 2개이므로 분모는 900
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 1235, 순환하지 않는 부분의 숫자는 123이므로 분자는 1235 - 123

(2) 순환마디는 3자리이므로 분모는 999
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 123, 순환하지 않는 부분은 0이므로 분자는 123 - 0

(3) 순환마디는 2자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 1개이므로 분모는 990
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 12345, 순환하지 않는 부분은 123이므로 분자는 12345 - 123

(4) 순환마디는 1자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 0개이므로 분모는 9
소수점을 고려하지 않는 전체수는 9, 순환하지 않는 숫자는 0이므로 분자는 9 - 0

0.9999999999……… 라서 절대로 1은 안될 것 같은데, 1하고 같아요.

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정리해볼까요

순환소수를 분수로 나타내기

  1. 주어진 순환소수를 x로 놓는다.
  2. 소수점이 순환마디 뒤에 오도록 10의 거듭제곱을 곱한다. ……… ②식
  3. 소수점이 순환마디 앞에 오도록 10의 거듭제곱을 곱한다. ……… ③식
  4. ② - ③
  5. 좌변, 우변을 정리 후 x의 계수로 양변을 나눠준다.
  6. 약분

순환소수를 분수로 나타내는 공식

  1. 분모는 순환마디의 숫자 개수만큼 9를 써주고, 9 뒤에 소수점 이하에서 순환마디가 아닌 숫자의 개수만큼 0을 붙여준다.
  2. 분자 = (소수점을 고려하지 않은 전체 수) - (순환하지 않는 부분의 수)
  3. 분자, 분모를 약분
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