제곱근의 뜻과 표현, 성질을 알아봤어요.

이번 글에서는 제곱근의 크기를 비교하는 걸 해볼꺼에요. 제곱근끼리의 크기비교도 해볼꺼고요. 제곱근과 제곱근이 아닌 수와의 크기 비교도 해볼꺼에요.

제곱근도 하나의 수이므로 대소비교를 하는데, 기존에 해봤던 정수의 대소관계유리수의 대소관계의 성질과 별로 다르지 않아요. 정수와 유리수는 음수, 0, 양수의 세 수로 나눌 수 있었어요. 음수는 숫자가 작을수록 크고, 양수는 숫자가 클수록 크죠? 이것만 기억하고 있으면 돼요.

제곱근의 대소관계

넓이가 3cm², 5cm², 7cm²인 정사각형이 세 개가 있어요. 정사각형의 넓이는 한 변의 길이를 제곱해서 구하니까 정사각형 한 변의 길이는 각각 에요.

정사각형 한 변의 길이의 순서는 넓이의 순서와 같죠? 따라서 작은 것부터 순서대로 쓰면 에요.

정수의 대소관계유리수의 대소관계에서 수직선에서 오른쪽에 있을수록 크기가 크다고 했죠? 제곱근도 마찬가지로 수직선으로 나타냈을 때 오른쪽에 있을수록 크기가 더 커요. 음수, 0, 양수의 순서죠.

정수, 유리수에서 대소비교할 때 양수는 숫자가 크면 크고, 음수는 숫자가 작아야 크잖아요. 제곱근의 대소관계에서는 그냥 숫자가 아니라 근호 안의 숫자의 크기를 가지고 얘기해요.

제곱근이 양수일 때는 근호 안의 숫자가 클수록 크고
제곱근이 음수일 때는 근호 안의 숫자가 작을수록 커요.

제곱근과 유리수의 대소관계

제곱근끼리의 대소비교는 근호 밖의 부호(음수, 0, 양수)와 근호안의 숫자 크기를 비교하면 알 수 있어요. 그러면 제곱근과 유리수의 크기 비교는 어떻게 할까요? 유리수는 근호가 없어서 바로 비교할 수가 없잖아요.

제곱근의 근호를 없앨 수 있으면 근호를 없애서 유리수와 비교하면 되는데, 제곱근을 없애고싶다고 없앨 수 있는 건 아니에요.

그래서 반대로 유리수를 근호안에 넣어서 제곱근으로 모양을 바꾼 다음 비교를 해요. 근호 밖의 유리수를 제곱해서 근호 안으로 넣는 거죠. 이렇게 하면 모두 제곱근이 되고, 위에서 했던 것처럼 근호 안의 숫자의 크기를 비교해서 제곱근과 유리수의 크기를 비교할 수 있어요.

다음을 크기가 작은 순서대로 나열하여라.

몇 개는 정수로 되어있네요. 정수로 되어있는 건 근호 안에 넣어줘야 해요. 근호 안에 넣어줄 때는 숫자를 제곱해서 넣어야 하죠.

정수든 유리수든 제곱근이든 대소비교를 할 때 가장 먼저 해야할 건 부호에 따라서 크기를 나누는 거예요. 음수, 0, 양수로 나눠볼까요?

음수는 근호 안의 숫자가 큰 게 작아요. 양수는 근호 안의 숫자가 큰 게 크지요. 16 < 5, ½ < 3 < 4 이므로

순서대로 배열했으니까 처음 문제에서 줬던 숫자로 다시 써보면

을 만족하는 자연수 x를 모두 구하여라.

2, 3이 근호 밖에 있으니까 근호 안에 넣어서 크기를 비교해야 해요.

따라서 x가 될 수 있는 자연수는 5, 6, 7, 8 네 개네요.

이런 문제를 조금 더 쉽게 풀기 위해서는 2, 3을 근호 안에 넣는 것도 좋지만 각 항을 모두 제곱해버리는 게 좋아요. 각 항을 제곱하면 4 < x < 9가 바로 나오지요?

정리해볼까요

제곱근의 대소관계

  • 음수, 0, 양수
  • 음수일 때: 근호안의 숫자가 작을수록 큰 수
  • 양수일 때: 근호안의 숫자가 클수록 큰 수
  • 제곱근과 유리수의 비교: 유리수를 제곱해서 근호 안에 넣어 제곱근으로 바꾸어 비교
 
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