제곱근의 뜻과 표현에서 새로운 용어와 새로운 기호를 공부했어요. 의미가 헷갈리니까 잘 이해할 수 있도록 하시고요.

이 글에서는 제곱근의 성질과 근호를 없애는 방법에 대해서 공부할 거예요. 제곱근의 성질을 알아야만 제곱근 기호(근호)를 없앨 수 있어요. 그러니까 처음부터 차분히 잘 따라오세요.

무작정 근호를 없애려고 하면 안 돼요. 원리와 방법이 어렵지 않으니까 잘 읽어보면 쉽게 계산할 수 있어요. 근호를 없애는 건 나중에 제곱근의 사칙연산할 때 아주 중요하니까 연습을 많이 해두세요.

제곱근의 성질

제곱근과 제곱은 서로 반대의 의미를 지녀요.

어떤 수의 제곱근을 제곱하면 원래 수가 돼요. 4의 제곱근은 ±2인데 이걸 제곱하면 22 = (-2)2 = 4가 되잖아요.

이때 어떤 수는 제곱근을 구할 수 있는 수니까 양수거나 0이에요. 제곱근의 뜻과 표현에서 음수의 제곱근은 생각하지 않는다고 했었죠?

제곱근의 성질 1

반대의 경우를 생각해보죠.

어떤 양수를 제곱해서 근호를 씌우면 원래 수가 돼요. 22 = 4에 근호를 씌우면 잖아요.

어떤 음수를 제곱해도 같은지 해볼까요? (-2)를 제곱해서 근호를 씌워보면 (-2)2 = 4고, 에요. 원래 수와 다르네요.

근호를 씌우는 건 그냥 제곱근을 구하는 게 아니라 양의 제곱근을 구하는 거예요. 그러니까 결과는 무조건 양수로 나올 수밖에 없어요. 음수를 제곱해서 양의 제곱근을 구하니까 원래 수와 부호가 다른 건 당연하지요.

근호를 씌운다 = 양의 제곱근을 구한다.
근호를 씌운다 ≠ 제곱근을 구한다

정리해보면 어떤 수를 제곱해서 근호를 씌웠을 때, 어떤 수가 양수면 원래 수 그대로, 어떤 수가 음수면 원래 수에서 부호만 바뀐 수가 나와요.

제곱근의 성질 2

근호 풀기

근호 안에 어떤 수의 제곱이 있을 때를 보죠. 위 제곱근의 성질을 이용하면 근호와 제곱을 지울 수 있어요. 마치 약분하는 것처럼요.

일단 제곱과 근호를 지우고 나면 숫자는 그대로 쓰니까 상관없어요. 문제는 부호에요. 부호는 위의 성질을 이용해서 구하는데 이게 정말 헷갈리거든요.

하나만 기억하세요. 근호 앞의 부호와 같게 만들어 주면 돼요. 근호 앞에 부호가 (+) 또는 생략이면 근호를 없앤 결과도 (+), 근호 앞의 부호가 (-)면 근호를 없앤 결과도 (-)에요.

위에서 a > 0일 때 에서 근호 앞의 부호가 생략되어 있으므로 는 양수예요. 그래서 근호를 없앤 결과도 양수인 a가 되는 거고요.

b < 0일 때 의 근호 앞에도 부호가 생략되어 있으므로 는 양수예요. 근호를 없앤 결과도 양수가 되어야 하는데, b < 0이니까 -b가 되는 거예요.

근호 안에 어떤 수의 제곱이 있을 때 근호 풀기 → 숫자는 그대로, 부호는 근호 앞의 부호

다음을 간단히 하여라.

근호 안에 제곱인 수가 있을 때 일단 숫자는 그대로 쓰고, 근호 앞의 부호가 양수이면 결과도 양수, 근호 앞의 부호가 음수이면 결과도 음수에요.

(1) 근호 앞의 부호가 양수네요. 25 = 52이므로 

(2) 근호 앞의 부호가 음수네요.

(3) 근호 앞의 부호가 양수예요.

(4) 근호 앞의 부호가 음수예요.

다음을 간단히 하여라.

각 항을 하나씩 따라 떼서 생각하면 쉬워요.

(1)에서는 두 항 모두 근호 앞의 부호가 양수네요.

(2)에서는 근호 앞의 부호가 하나는 양수, 하나는 음수네요.

정리해볼까요

제곱근의 성질

  • 어떤 수의 제곱근을 제곱하면 원래 수
  • 양수의 제곱에 근호를 씌우면 원래 수
    음수의 제곱에 근호를 씌우면 부호 반대
  • 근호 안에 어떤 수의 제곱이 있을 때 근호 풀기 → 숫자는 그대로, 부호는 근호 앞의 부호
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