무리수, 실수라는 새로운 수를 공부했으니 이걸 수직선 위에 나타내 볼까요?

유리수는 수직선위에 나타내기 쉬웠는데, 무리수는 그 값을 정확하게 모르니까 수직선 위에 나타내기가 좀 어려워요. 제곱근의 성질을 이용할 수 있는 정사각형을 그려서 수직선 위에 나타냅니다.

수직선과 유리수, 무리수, 실수의 관계도 알아볼 거예요. 유리수, 무리수, 실수의 성질이 비슷하니까 잘 구별해야 해요. 유리수의 성질과 무리수의 성질은 같고, 실수는 이 둘의 성질을 모두 가지고 있어요.

무리수를 수직선 위에 나타내기

유리수는 수직선을 긋고 그 위에 나타낼 수 있어요. (유리수와 수직선무리수도 수직선 위에 나타낼 수 있는데 그 방법을 알아보죠.

수직선 위에 한 칸의 길이가 1인 모눈종이가 있다고 생각해보세요.

무리수를 수직선 위에 나타내기

그림에서 파란색 사각형은 정사각형이에요. 이 정사각형의 넓이를 구해보죠.
파란 정사각형의 넓이 = (점선으로 그려진 정사각형의 넓이) - (작은 삼각형 4개의 넓이) = 4 - 4(½ × 1 × 1) = 2

정사각형의 넓이가 2이므로 한 변의 길이는 에요.

점 O를 중심으로 하고 작은 정사각형 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려서 수직선과 만나는 점을 점 P, 점 Q라고 하죠. 원의 반지름이므로  = 에요.

점 P의 좌표는 점 O에서의 거리니까 겠죠? 점 Q의 좌표도 역시 같은 거리에 있는데 수직선 위에서 원점 O보다 왼쪽에 있으니 -에요.

수직선 위에 정사각형을 그리고, 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원과 수직선과의 교점을 이용해서 무리수를 수직선 위에 그릴 수 있어요.

다음 그림에서 점 P와 점 Q의 좌표를 구하여라. (모눈 한 칸은 길이가 1인 정사각형)

점 P와 점 Q는 점 O를 중심으로 하고 를 반지름으로 하는 원과 수직선의 교점이에요. 

분홍색 정사각형의 넓이를 구해야 의 길이를 구할 수 있죠?
분홍색 정사각형의 넓이 = (점선으로 그린 사각형의 넓이) - (작은 삼각형 4개의 넓이) = 9 - 4(½ × 2 × 1) = 5

점 P는 점 O에서 만큼 오른쪽에 있는 점이에요. 주의해야 할 건 점 O가 원점이 아니라는 거예요. 점 O가 1위의 점 이므로 점 P는 1 + 에요. 점 Q는 점 O에서 왼쪽으로 만큼 있는 점이므로 점 Q의 좌표는 1 - 에요.

실수와 수직선

모든 유리수는 수직선 위에 점으로 나타낼 수 있어요. 이 말은 유리수는 수직선 위의 한 점과 대응한다는 뜻이에요. 또 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있지요. 0과 1 사이에는 0.5, 0.55, 0,555 …… 등 무수히 많은 유리수가 있죠?

무리수도 유리수처럼 수직선 위에 점으로 나타낼 수 있어요. 무리수도 수직선 위의 한 점과 대응하는 거죠. 무리수 사이에도 무수히 많은 무리수가 있어요.

유리수와 무리수를 합치면 실수니까 실수는 유리수와 무리수의 성질을 모두 가지고 있어요. 위 두 가지를 합치면 실수는 수직선 위의 한 점과 대응하고, 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있다는 걸 알 수 있어요. 그 외에 유리수, 무리수는 없는 실수만 가지고 있는 성질이 하나 잇는데, 실수에 대응하는 무수히 많은 점으로 수직선을 완전히 메울 수 있어요. 유리수나 무리수만으로는 수직선을 완전히 메울 수 없어요.

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정리해볼까요

무리수를 수직선에 나타내기

  • 수직선 위에 정사각형을 그리고, 정사각형의 한 변을 반지름으로 하는 원과 수직선의 교점을 이용

실수와 수직선

  • 유리수, 무리수, 실수는 수직선 위의 한 점에 대응
  • 두 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수, 두 무리수 사이에는 무수히 많은 무리수, 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 존재
  • 실수에 대응하는 점으로 수직선을 메울 수 있다.
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