x축도 직선이죠? 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 이용하여 이차함수의 그래프와 x축의 위치관계를 알아볼 거예요. 이 둘 사이의 위치관계를 통해서 이차방정식의 근의 개수를 파악할 수 있어요. 결국, 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근이 어떤 관계가 있는지 확인할 수 있죠.
이차함수의 그래프와 x축의 모습을 간략하게 그릴 수 있으면 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근 사이의 관계를 이해하는 데 훨씬 도움이 돼요.
이차함수의 그래프와 x축의 위치관계
이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서 이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n 사이의 위치관계를 구해봤어요. ax2 + bx + c = mx + n에서 판별식 D를 구해서 관계를 구했죠.
이번에는 이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)의 그래프와 x축 사이의 관계를 알아볼 거예요. x축은 직선의 방정식으로 나타내면 y = 0이죠. x축도 직선이니까 같은 방법을 이용하여 판별식 D를 구해보죠.
ax2 + bx + c = 0
D = b2 - 4ac
D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나요.
D = 0이면 한 점에서 만나죠. (접한다.)
D < 0이면 만나지 않아요.
여기까지는 쉬워요.
그런데 식을 다시 한 번 보세요. ax2 + bx + c = 0은 어떤 모양인가요? 바로 이차방정식의 일반형이죠? 그러니까 이차함수의 그래프와 x축의 관계는 이차방정식으로 나타낼 수 있는 거예요. x축과의 교점이 바로 이차방정식의 해가 되는 겁니다.
D > 0이어서 서로 다른 두 점에서 만나면 해가 2개가 되는 거고, D = 0으로 한 점에서 만나면 해가 하나인 경우예요. 이차방정식의 해가 1개인 경우는 중근일 때죠. D < 0이어서 만나지 않을 때는 해가 없어요. 실수범위에서만 구하기 때문에 해가 없는 거고 복소수까지 생각한다면 D < 0일 때의 해는 서로 다른 두 허근이에요.
이건 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 했던 내용이지요.
D > 0일 때와 D = 0일 때 실근을 갖는데, 이 실근은 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표에요.
이 내용을 표로 정리해보죠. 그래프의 모양을 잘 보세요.
| D > 0 | D = 0 | D < 0 | |
|---|---|---|---|
| y = ax2 + bx + c의 그래프 | x축과 두 점에서 만난다. | x축과 한 점에서 만난다. (접한다.) | x축과 만나지 않는다. |
| a > 0일 때 |  |
 |
 |
| a < 0일 때 |  |
 |
 |
| ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해 | 서로 다른 두 실근 | 중근 | 서로 다른 두 허근 |
| 이차함수 ax2 + bx + c (a ≠ 0)와 x축의 교점의 x좌표 = 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해 | |||
이차항의 계수인 a의 부호에 따라 그래프의 볼록한 방향이 달라지는 걸 볼 수 있어요. 판별식의 부호와 a의 부호에 따라 그래프를 그릴 수 있어야 하고, 해의 개수도 알아내야 해요.
이차함수 y = x2 + (k + 1)x + k + 1의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k의 범위를 구하여라.
이차방정식 x2 + (k + 1)x + k + 1 = 0에서 D > 0 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나요. D < 0이면 만나지 않죠.
D = (k + 1)2 - 4 × 1 × (k + 1) > 0
k2 + 2k + 1 - 4k - 4 > 0
k2 - 2k - 3 > 0
(k + 1)(k - 3) > 0
k < -1 or k > 3
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