이제부터는 이차함수에 대해서 본격적으로 시작할 거예요.

이 글에서는 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아볼 거예요. 정의역이 특정한 범위 없이 실수 전체의 집합일 때와 특정한 범위가 주어졌을 때에 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법입니다.

이차함수의 그래프를 그리지 않고, 최댓값과 최솟값을 구하는 방법이니까 잘 알아두세요.

이차함수의 최댓값과 최솟값

이차함수 y = a(x - p)2 + q의 함숫값 중에서 가장 큰 값을 최댓값, 가장 작은 값을 최솟값이라고 해요.

정의역이 실수 전체인 이차함수의 최댓값과 최솟값은 a의 부호를 생각하면 쉽게 구할 수 있어요.

이차함수 이차항의 계수 a > 0이면 그래프는 아래로 볼록이에요. 꼭짓점이 가장 아래에 있고, 양쪽 옆으로는 끝없이 위로 올라가는 모양이죠.

꼭짓점에서 가장 값이 적으니까 꼭짓점에서 함숫값이 최솟값이죠. 그런데 양쪽 옆으로는 값이 커지는데 끝도 없이 커져요. 그래서 최댓값은 구할 수 없어요.

이번에는 a < 0일 때를 생각해보죠.

a < 0이면 그래프는 위로 볼록이에요. 꼭짓점에서 가장 높이 있고, 양쪽 옆으로 가면서 아래로 내려가는 모양이죠.

꼭짓점에서 가장 높으니까 이때의 함숫값이 최댓값이에요. 양쪽 옆으로는 값이 계속 작아지는데 어디가 끝인지 모르죠. 그래서 최솟값은 구할 수 없어요.

a > 0이면 x = p일 때 최솟값 q
a < 0이면 x = p일 때 최댓값 q

이차함수의 최댓값과 최솟값 - 이차함수의 최솟값

이차함수의 최댓값과 최솟값 - 이차함수의 최댓값

이제는 조금 다른 게 정의역 x가 실수 전체의 집합이 아니라 특정한 범위를 갖는 거예요. 따라서 최댓값과 최솟값을 모두 가져요.

아래는 y = a(x - p)2 + q의 그래프인데, 정의역이 α ≤ x ≤ β에요. y = a(x - p)2 + q의 그래프 중에서, α와 β 사이의 부분만 떼서 생각해보죠. 꼭짓점 x = p일 때 최댓값이 q이에요. x = β일 때 f(β)가 최솟값이네요.

이차함수의 최댓값과 최솟값 - 이차함수의 최댓값 2


이번에는 다른 y = a(x - p)2 + q의 그래프를 보죠. 마찬가지로 α ≤ x ≤ β의 범위를 가져요.

이차함수의 최댓값과 최솟값 - 이차함수의 최솟값 2

a > 0이니까 꼭짓점에서 최솟값을 가져야 하는데, 그래프를 잘 보니 x = p는 α ≤ x ≤ β의 범위에 들어있지 않아요. 따라서 이 경우는 꼭짓점에서 최솟값을 갖지는 않죠. 이 그래프에서 최솟값은 x = α일 때 f(α)이고, 최댓값은 x = β일 때 f(β)에요.

어떤 경우든 최대, 최소는 꼭짓점 또는 양쪽 경계에서 생겨요. 그래서 세 경우의 값만 구하면 돼요. 세 경우를 구해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 게 최솟값이죠. 대신에 꼭짓점 x = p가 정의역인 α ≤ x ≤ β에 들어있는지만 확인하면 되죠.

이차함수의 최대, 최소

  • 꼭짓점 p가 α ≤ x ≤ β 사이에 있을 때: f(p), f(α), f(β) 중 가장 작은 값이 최솟값, 가장 큰 값이 최댓값
  • 꼭짓점 p가 α ≤ x ≤ β 사이에 있지 않을 때: f(α), f(β) 중 작은 값이 최솟값, 큰 값이 최댓값

다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
(1) y = -(x + 1)2 + 3 (-2 ≤ x ≤ 2)
(2) y = 2(x - 1)2 - 4 (3 ≤ x ≤ 5)

이차함수는 꼭짓점 또는 양쪽 경계에서 최댓값과 최솟값을 가져요. 꼭짓점의 y값과 양쪽 경계의 y값을 비교해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이죠. 단, 꼭짓점이 정의역에 포함되지 않는다면 꼭짓점의 y값은 빼야 해요.

(1) 번의 x = -1은 정의역 -2 ≤ x ≤ 2에 포함되므로 꼭짓점의 y값과 양쪽 경곗값의 세 값을 비교해야겠네요.
x = -1일 때, y = 3
x = -2일 때, y = 2
x = 2일 때, y = -6

3이 가장 크고 -6이 가장 작으므로 최댓값은 3, 최솟값은 -6입니다.

(2) 번은 꼭짓점 x = 1은 정의역 3 ≤ x ≤ 5에 포함되지 않아요. 따라서 양쪽 경곗값의 크기를 비교해서 최댓값과 최솟값을 구해야 해요.
x = 3일 때, y = 4
x = 5일 때, y = 28

최솟값은 4, 최댓값은 28입니다.

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정리해볼까요

이차함수의 최댓값과 최솟값

  • 꼭짓점 p가 α ≤ x ≤ β 사이에 있을 때: f(p), f(α), f(β) 중 가장 작은 값이 최솟값, 가장 큰 값이 최댓값
  • 꼭짓점 p가 α ≤ x ≤ β 사이에 있지 않을 때: f(α), f(β) 중 작은 값이 최솟값, 큰 값이 최댓값
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