이제부터는 이차함수에 대해서 본격적으로 시작할 거예요.

이 글에서는 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아볼 거예요. 이차함수의 최대, 최소는 중학교 3학년 때 이차함수의 최댓값과 최솟값에서 공부했었어요. 이차항의 계수 a의 부호에 따라 최댓값과 최솟값을 구했었죠.

이때는 정의역이 실수 전체의 집합이었어요. 이제는 정의역이 실수 전체의 집합이 아닌 특정한 범위를 가질 때 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 거예요. 이차함수의 그래프를 그리지 않고, 최대, 최소를 구하는 방법이니까 잘 알아두세요.

이차함수의 최댓값과 최솟값

이차함수의 최댓값과 최솟값에서 y = a(x - p)2 + q의 최댓값과 최솟값은 a의 부호에 따라 구할 수 있었어요. 이때는 x, y의 범위가 실수 전체였죠? 그래서 최댓값 또는 최솟값 중 하나만 가졌어요.

a > 0이면 x = p일 때 최솟값 q
a < 0이면 x = p일 때 최댓값 q

이차함수의 최댓값과 최솟값 - 이차함수의 최솟값

이차함수의 최댓값과 최솟값 - 이차함수의 최댓값

이제는 조금 다른 게 정의역 x가 실수 전체의 집합이 아니라 특정한 범위를 갖는 거예요. 따라서 최댓값과 최솟값을 모두 가져요.

아래는 y = a(x - p)2 + q의 그래프인데, 정의역이 α ≤ x ≤ β에요. y = a(x - p)2 + q의 그래프 중에서, α와 β 사이의 부분만 떼서 생각해보죠.

이차함수의 최댓값과 최솟값 - 이차함수의 최댓값 2

꼭짓점 x = p일 때 최댓값이 q이에요. x = β일 때 f(β)가 최솟값이네요.

이번에는 다른 y = a(x - p)2 + q의 그래프를 보죠. 마찬가지로 α ≤ x ≤ β의 범위를 가져요.

이차함수의 최댓값과 최솟값 - 이차함수의 최솟값 2

a > 0이니까 꼭짓점에서 최솟값을 가져야 하는데, 그래프를 잘 보니 x = p는 α ≤ x ≤ β의 범위에 들어있지 않아요. 따라서 이 경우는 꼭짓점에서 최솟값을 갖지는 않죠. 이 그래프에서 최솟값은 x = α일 때 f(α)이고, 최댓값은 x = β일 때 f(β)에요.

어떤 경우든 최대, 최소는 꼭짓점 또는 양쪽 경계에서 생겨요. 그래서 세 경우의 값만 구하면 돼요. 세 경우를 구해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 게 최솟값이죠. 대신에 꼭짓점 x = p가 정의역인 α ≤ x ≤ β에 들어있는지만 확인하면 되죠.

이차함수의 최대, 최소

  • 꼭짓점 p가 α ≤ x ≤ β 사이에 있을 때: f(p), f(α), f(β) 중 가장 작은 값이 최솟값, 가장 큰 값이 최댓값
  • 꼭짓점 p가 α ≤ x ≤ β 사이에 있지 않을 때: f(α), f(β) 중 작은 값이 최솟값, 큰 값이 최댓값

다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
(1) y = -(x + 1)2 + 3 (-2 ≤ x ≤ 2)
(2) y = 2(x - 1)2 - 4 (3 ≤ x ≤ 5)

이차함수는 꼭짓점 또는 양쪽 경계에서 최댓값과 최솟값을 가져요. 꼭짓점의 y값과 양쪽 경계의 y값을 비교해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이죠. 단, 꼭짓점이 정의역에 포함되지 않는다면 꼭짓점의 y값은 빼야 해요.

(1) 번의 x = -1은 정의역 -2 ≤ x ≤ 2에 포함되므로 꼭짓점의 y값과 양쪽 경곗값의 세 값을 비교해야겠네요.
x = -1일 때, y = 3
x = -2일 때, y = 2
x = 2일 때, y = -6

3이 가장 크고 -6이 가장 작으므로 최댓값은 3, 최솟값은 -6입니다.

(2) 번은 꼭짓점 x = 1은 정의역 3 ≤ x ≤ 5에 포함되지 않아요. 따라서 양쪽 경곗값의 크기를 비교해서 최댓값과 최솟값을 구해야 해요.
x = 3일 때, y = 4
x = 5일 때, y = 28

최솟값은 4, 최댓값은 28입니다.

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정리해볼까요

이차함수의 최댓값과 최솟값

  • 꼭짓점 p가 α ≤ x ≤ β 사이에 있을 때: f(p), f(α), f(β) 중 가장 작은 값이 최솟값, 가장 큰 값이 최댓값
  • 꼭짓점 p가 α ≤ x ≤ β 사이에 있지 않을 때: f(α), f(β) 중 작은 값이 최솟값, 큰 값이 최댓값
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