이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법 두 번째에요. 이번에는 이차함수뿐 아니라 다른 식의 최대, 최소를 구하는 방법도 알아볼 거예요. 이차함수의 최대, 최소를 구하는 방법과 조금 다르긴 하지만 한 번에 정리한다고 생각하세요. 새로운 건 아니고 전부터 많이 사용했던 성질들을 이용하므로 너무 어려워하지 마세요.

그리고 이차함수의 최대, 최소를 활용하는 문제도 풀어볼 거예요. 이차함수의 활용은 중학교 때 해본 것과 완전히 똑같아요. 대신에 최대, 최소를 구하는 방법이 조금 어려워질 뿐이죠. 최대, 최소 구하는 방법만 제대로 알고 있으면 돼요.

이차함수의 최대, 최소

조건식이 있을 때 이차함수의 최대, 최소

x, y에 관한 조건식과 최대, 최소를 구하는 식 두 개를 알려주는 경우예요. 이때는 조건식을 한 문자에 관해 정리해서 다른 식에 대입해요.

x2 + y2 = 4일 때, 2x + y2의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

조건식이 x2 + y2 = 4이네요. 한 문자에 관해서 정리해보죠.
y2 = 4 - x2

2x + y2 = 2x + 4 - x2 = -x2 + 2x + 4 = -(x - 1)2 + 5

위로 볼록한 이차함수이므로 최댓값 5만 가질까요? 아니에요. 왜냐하면, 조건식에서 x의 범위를 구할 수 있거든요.

(실수)2 ≥ 0이므로 y2 = 4 - x2 ≥ 0이에요.
4 - x2 ≥ 0
x2 - 4 ≤ 0
(x + 2)(x - 2) ≤ 0
-2 ≤ x ≤ 2

정의역이 -2 ≤ x ≤ 2이고, 이차함수의 꼭짓점 (1, 5)가 정의역에 포함되므로 양쪽 경곗값과 꼭짓점에서의 y값을 비교해서 최대, 최소를 구해야 해요. 최댓값은 x = 1일 때 5, 최솟값은 x = -2일 때 -4네요.

완전제곱식이 포함된 이차식의 최대, 최소

x, y가 실수라는 조건이 있는 이차식의 최대, 최소는 실수의 성질을 이용해요. 이차식을 완전제곱식으로 바꾸는 거죠. (실수)2 ≥ 0이니까 (실수 x, y를 포함하는 완전제곱식)2 ≥ 0이에요.

x, y가 실수일 때, x2 + 2x + y2 + 6y + 5의 최솟값을 구하여라.

x, y가 실수니까 식을 완전제곱식으로 바꿔보죠.
x2 + 2x + y2 + 6y + 5
= (x + 1)2 + (y + 3)2 - 1 - 9 + 5
= (x + 1)2 + (y + 3)2 - 5

(x + 1)2 ≥ 0이고 (y + 3)2 ≥ 0이므로 (x + 1)2 + (y + 3)2 - 5 ≥ -5이에요. 따라서 답은 -5이네요.

산술, 기하, 조화평균

이외에도 절대부등식 - 산술, 기하, 조화평균에서도 양수인 두 수의 합과 곱 사이의 관계를 통해서 합의 최솟값이나 곱의 최댓값을 구했었죠?

a > 0, b > 0일 때
산술, 기하, 조화 평균
(등호는 a = b일 때 성립)

이것까지 기억해두세요.

이차함수의 최대, 최소의 활용

이차함수의 활용은 중학교 3학년 때 했던 이차함수의 활용과 달라지지 않아요. 다만, 최대, 최소를 구하는 방법에 앞서 공부한 이차함수의 최댓값과 최솟값이 추가될 뿐이에요.

이차함수의 활용 푸는 순서

  1. x, y 정하기
    문제를 잘 읽고 문제에서 구하고자 하는 것을 x, y로 놓는다.
  2. x, y의 범위 구하기
    문제의 조건에 맞는 x, y의 범위를 구한다.
  3. 함수식 만들기
    x, y의 관계를 잘 나타낼 수 있는 식을 만든다.
  4. 답 구하기
    함수식을 풀거나 그래프를 이용하여 구하는 답을 찾는다.
  5. 확인하기
    구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인한다.

길이가 40cm인 끈으로 직사각형을 만들려고 한다. 직사각형의 넓이가 최대가 될 때의 가로, 세로 길이를 구하여라.

2(가로 길이 + 세로 길이) = 둘레의 길이이므로 직사각형의 가로 길이를 x라고 한다면 세로 길이는 20 - x에요. 넓이를 y라고 해보죠.

가로 길이 x는 길이니까 0보다 커요.

세로 길이도 마찬가지로 0보다 커야 하고요. 20 - x > 0 → x < 20

따라서 x의 범위는 0 < x < 20가 되겠네요.

y = x(20 - x)
y = 20x - x2
y = -x2 + 20x
y = -(x2 - 20x)
y = -(x - 10)2 + 100

이차함수에서 (10, 100)이 x의 범위 0 < x < 20 사이에 있으니까 꼭짓점에서 최댓값을 가져요. 답은 가로 10cm, 세로 10cm네요.

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정리해볼까요

이차함수의 최대, 최소

  • 완전제곱식 이용: 완전제곱식으로 변형하여 (실수)2 ≥ 0을 이용
  • 조건식이 있을 때: 조건식을 한 문자에 관하여 정리 후 다른 식에 대입. 조건식에서 문자의 범위를 구해야 하는 경우도 있음.

이차함수 최대, 최소의 활용

  1. 구하고자 하는 수를 x, y로 놓는다
  2. x, y의 관계를 함수식으로 나타낸다
  3. 함수를 풀어 답을 찾는다.
  4. 구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인한다.
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