절대부등식이라는 새로운 용어가 나오는데, 이 절대부등식은 증명을 통해서 이게 절대적인 힘(?)을 가지고 있다는 것을 보여줘야 해요.

절대부등식을 증명할 때 여러 가지 조건들과 성질들을 이용하는데, 이런 성질들을 잘 기억하고 있어야 해요. 새로운 성질을 공부하는 건 아니고 그동안 공부했던 여러 가지를 정리하는 차원이라고 생각하세요.

증명을 해야 하니까 내용이 조금 어려울 수 있으니 집중해서 보세요.

절대부등식

등식에 미지수가 있을 때, 미지수에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식을 항등식이라고 해요. 부등식에도 미지수가 있을 때, 미지수에 어떤 값을 대입해도 성립하는 부등식이 있는데 그걸 바로 절대부등식이라고 하지요.

이차부등식이 항상 성립할 조건을 공부했었죠? 이처럼 항상 성립하는 부등식이 절대부등식이에요.

어떤 부등식을 보고 이게 진짜로 항상 참이 되는지 알아볼 필요가 있겠죠? 절대부등식은 증명을 통해서 그게 항상 참인지 밝혀야 해요.

부등식의 증명에 이용되는 실수의 성질

부등식은 부등호로 되어 있는데, 부등호는 기본적으로 대소관계를 나타내는 거죠? 그래서 부등식의 증명에서는 실수의 대소관계에 대한 기본 성질을 이용합니다.

그 외에도 몇 가지가 더 있는데, 부등식의 증명에 사용하는 실수의 성질을 정리해보면 아래와 같아요.

  • a > b ⇔ a - b > 0
  • a2 ≥ 0
  • a > 0, b > 0일 때
    • a > b ⇔ a2 > b2
    • a > 0, b > 0일 때,
  • |a| ≥ a, |a|2 = a2, |a||b| = |ab|

실수의 대소비교를 할 때는 차를 이용해서 비교해요. 차가 양수면 앞에 있는 수가 더 큰 수잖아요. 그리고 모든 실수의 제곱은 0보다 크거나 같고요.

세 번째에 있는 건, 근호나 절댓값을 포함한 식을 비교할 때인데 이때는 두 식의 제곱의 차를 이용해서 대소를 비교해요.

네 번째는 절댓값의 성질이에요. 절댓값은 0 또는 양수니까 계산한 결과가 0 또는 양수라면 절댓값 기호를 그냥 없애도 상관없잖아요.

a, b, c가 실수일 때 다음 부등식을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 구하여라.
(1) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
(2)  (단, a > 0, b > 0)
(3) |a| + |b| ≥ |a + b|

(1) 우변에 있는 항을 좌변으로 이항해서 정리해보죠.

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca ≥ 0
 × 2(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) ≥ 0
× (2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca) ≥ 0
 × (a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ca + a2) ≥ 0
 {(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2} ≥ 0

(a - b)2 ≥ 0, (b - c)2 ≥ 0, (c - a)2 ≥ 0이므로 위 등식은 참. a = b = c일 때 등호 성립

원래 곱셈공식의 변형에 나오는 건데 등호만 부등호로 바뀐 거예요.

(2) 번은 근호가 있어요. a > 0, b > 0이니까 이예요. 모두 양수니까 제곱해서 비교할 수 있어요.

양변이 모두 양수이고 제곱했을 때 좌변이 크니까 제곱하지 않았을 때도 좌변이 커요. a > 0, b > 0이니까 등호가 성립할 수는 없겠죠?

(3) |a| + |b| ≥ |a + b|도 절댓값으로 모든 항이 양수니까 제곱해서 비교해보죠. 그리고 절댓값이 있으니까 |a|2 = a2, |a||b| = |ab|도 기억하고요.

|a| + |b| ≥ |a + b|
(|a| + |b|)2 ≥ (|a + b|)2
|a|2 + 2|a||b| + |b|2 ≥ (a + b)2
a2 + 2|ab| + b2 ≥ a2 + 2ab + b2
2|ab| - 2ab ≥ 0
2(|ab| - ab) ≥ 0

|ab| ≥ ab이므로 부등식이 참. |ab| = ab일 때 즉 ab ≥ 0일 때 등호 성립. (a, b의 부호가 같거나 적어도 하나가 0일 때)

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정리해볼까요

절대부등식: 미지수의 값과 상관없이 항상 성립하는 부등식

부등식의 증명에 이용되는 실수의 성질

  • a > b ⇔ a - b > 0
  • a2 ≥ 0
  • a > 0, b > 0일 때
    • a > b ⇔ a2 > b2
    • a > 0, b > 0일 때,
  • |a|2 = a2, |a||b| = |ab|
 
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