이차부등식의 해를 구할 때, 이차부등식의 해가 모든 실수가 되는 경우가 있었어요. 모든 실수가 해가 되는 경우에는 x에 어떤 값을 넣어도 그 식은 성립하죠.

부등식 ax > b의 풀이, 부정, 불능에서 항상 성립하는 조건을 알아봤던 것과 비슷한 거예요. 이차부등식이기 때문에 최고차항의 계수뿐 아니라 판별식 D를 이용해서 그 조건을 알아볼 거예요.

이차부등식의 모양과 이차부등식이 항상 성립할 조건이 비슷하게 생겼으니까 그 모양을 잘 비교해보세요.

이차부등식이 항상 성립할 조건

이차부등식이 항상 성립할 조건은 판별식과 이차부등식의 해에서 했던 내용을 기억하세요. 이차부등식 ax2 + bx + c > 0 (a > 0)일 때를 비롯하여 부등호의 기호와 판별식에 따라서 해가 어떻게 되는지 알아봤죠? 이 중에 모든 실수를 해로 갖는 경우가 바로 이차부등식이 항상 성립할 조건이니까요.

판별식과 이차부등식의 해(a > 0일 때)
D > 0 D = 0 D < 0
ax2 + bx + c > 0 x < α or x > β x ≠ α인 모든 실수 모든 실수
ax2 + bx + c ≥ 0 x ≤ α or x ≥ β 모든 실수 모든 실수
ax2 + bx + c < 0 α < x < β 해는 없다. 해는 없다.
ax2 + bx + c ≤ 0 α ≤ x ≤ β x = α 해는 없다.

일단 위 표에서 해가 모든 실수인 경우가 두 가지 있네요.

  • ax2 + bx + c > 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D < 0일 때
  • ax2 + bx + c ≥ 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D ≤ 0일 때

그럼 ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0일 때는 항상 성립하는 경우가 없을까요? 아니에요. 이 표가 a > 0일 때만 조사해서 그런 거예요.

a < 0일 때를 알아볼까요?

이차부등식의 좌변을 완전제곱꼴로 바꿔보죠.

완전제곱꼴

이차부등식이 항상 성립할 조건  1이 항상 성립하려면 어떤 조건이 있어야 할까요?

일단 a < 0이고  ≥ 0이니까 a ≤ 0이에요.

D > 0일 때를 보죠. D > 0이면  < 0이에요. 이때 이차부등식이 항상 성립할 조건  1는 (0 또는 음수) - (음수) 꼴이 되는데 이건 0보다 클 수도 있고 작을 수도 있어요. 그래서 항상 성립한다고 할 수는 없어요.

D = 0일 때를 보죠. D = 0이면  = 0이에요. 이때 이차부등식이 항상 성립할 조건  1는 (0 또는 음수) - 0 꼴이 되는데 이건 0일 수도 있고 음수일 수도 있죠? 그래서 항상 성립한다고 할 수는 없어요.

D < 0일 때를 보죠. D < 0이면  > 0이에요. 이때 이차부등식이 항상 성립할 조건  1는 (0 또는 음수) - (양수) 꼴이 되는데 이건 무조건 0보다 작죠? 그래서 항상 성립한다고 할 수 있어요.

따라서 a < 0일 때, ax2 + bx + c < 0이 항상 성립하려면 D < 0이어야 해요.

a < 0이고 D < 0일 때는 ax2 + bx + c ≤ 0도 당연히 성립해요. D = 0일 때는 ax2 + bx + c이 0 또는 음수이니까 역시 성립하죠. 결국 D ≤ 0이면 항상 성립해요.

  • ax2 + bx + c < 0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D < 0일 때
  • ax2 + bx + c ≤ 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D ≤ 0일 때

총 네 가지 경우에 이차부등식이 항상 성립해요.

  • ax2 + bx + c > 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D < 0일 때
  • ax2 + bx + c 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D 0일 때
  • ax2 + bx + c < 0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D < 0일 때
  • ax2 + bx + c  0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D 0일 때

잘 보면 특징이 있어요.

이차부등식의 좌변이 우변의 0보다 큰지 작은지와 이차항의 계수가 양수인지 음수인지가 같죠. 좌변이 우변의 0보다 크면 이차항의 계수도 0보다 커요. 좌변이 우변의 0보다 작으면 이차항의 계수도 0보다 작죠.

그리고 무조건 판별식 D < 0인데, 이차부등식에 등호가 포함되어 있으면 판별식 D에도 등호가 포함되어 있고, 이차부등식에 등호가 없으면 판별식에도 등호가 없어요.

이차부등식 (k + 2)x2 + (k + 2)x + 2 > 0이 항상 성립할 때 정수 k를 모두 구하여라.

이차부등식의 모양을 잘 보세요. 좌변이 우변보다 커요. 부등호에는 등호가 없고요. 이때는 이차항의 계수 > 0이고, D < 0이어야 해요.

k + 2 > 0
k > -2

D = (k + 2)2 - 4 × (k + 2) × 2 < 0
k2 + 4k + 4 - 8k - 16 < 0
k2 - 4k - 12 < 0
(k - 6)(k + 2) < 0
-2 < k < 6

-2 < k < 6이므로 정수 k = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5네요.

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정리해볼까요

이차부등식이 항상 성립할 조건

  • ax2 + bx + c > 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D < 0일 때
  • ax2 + bx + c ≥ 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D ≤ 0일 때
  • ax2 + bx + c < 0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D < 0일 때
  • ax2 + bx + c ≤ 0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D ≤ 0일 때
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