이차함수의 마지막 이차함수의 활용입니다. 이차함수는 1학기의 마지막 단원이니까 오늘 내용만 하면 1학기 수학이 다 끝나네요.
활용은 모든 단원에서 하지만 원리는 같아요. 구하는 미지수가 뭔지 찾고, 식 세우고, 계산하는 거죠.
이차함수의 활용은 그런 면에서 이차방정식의 활용과 비슷한 유형의 문제가 많이 나와요. 이차방정식의 활용을 열심히 공부했던 학생이라면 어렵지 않게 느껴질 겁니다.
이차함수의 활용
이차함수의 활용 푸는 순서
- x, y 정하기
문제를 잘 읽고 문제에서 구하고자 하는 것을 x, y로 놓는다. - 함수식 만들기
x, y의 관계를 잘 나타낼 수 있는 식을 만든다. - 답 구하기
함수식을 풀거나 그래프를 이용하여 구하는 답을 찾는다. - 확인하기
구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인한다.
함수의 활용 문제에서 대부분 변하는 값을 x로 놓아요. 시간이라든가 길이 같은 게 되죠. 그리고 x에 따라 바뀌는 종속적인 값을 y로 놓아요. 시간에 따라 바뀌는 온도, 가로 길이에 따라 바뀌는 넓이 같은 거죠.
이차함수의 활용에서는 최대, 최소를 구하는 문제가 많이 나오거든요. 최대/최소를 직접 구하거나 최댓값, 최솟값을 가질 때 변수의 값을 구하는 문제요. 따라서 일반형이 아닌 표준형을 많이 사용해요.
또 표준형 y = a(x - p)2 + q에서 a에 따라서 최댓값, 최솟값 중 하나만 가지니까 a의 부호도 잘 보죠.
두 수의 합을 주고 곱을 구하는 문제
두 수의 합의 관계식을 주고, 곱의 최댓값을 구하거나 곱이 최대일 때 두 수를 구하는 문제 유형이에요.
실제로 두 수를 주는 건 아니고 두 수의 관계식을 주는 거죠. 예를 들어 두 수의 합이 10이다. 두 수의 차가 20이다 이런 식으로요.
한 수를 x라고 놓으면 다른 수는 관계식에서 구할 수 있어요. 두 수의 합이 10일 때, 한 수를 x라고 놓으면 다른 한 수는 10 - x가 되는 거지요. x(10 – x)는 두 수의 곱이 되겠죠?
합이 16인 두 수의 곱이 가장 클 때 그때의 두 수와 곱의 최댓값을 구하여라.
한 수를 x라고 놓으면 다른 한 수는 16 - x가 되겠죠? 곱은 x(16 - x)가 될 거고요.
y = x(16 - x)
y = 16x - x2
y = -x2 + 16x
y = -(x2 - 16x)
y = -(x2 - 16x + 82 - 82)
y = -(x - 8)2 + 64
x = 8일 때 곱이 최대가 되고 그 때 곱은 64네요. 한 수가 8이니까 다른 한 수는 16 - 8 = 8이겠고요. 답은 두 수는 8, 8, 곱의 최댓값은 64가 되겠습니다.
도형의 둘레, 넓이 문제
자주 나오는 유형 중 하나가 도형의 둘레와 넓이에 관한 문제예요. 이 유형도 위의 유형과 같아요. 도형의 둘레는 가로, 세로 길이의 합이고 도형의 넓이는 가로, 세로 길이의 곱이잖아요.
둘레의 길이가 36cm인 사각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 가로, 세로 길이를 구하여라.
가로, 세로 길이를 구하라고 했으니까 가로를 x, 세로를 y로 놓으면 될까요? 그렇게 하지 않아요. 가로를 x로 놓으면 가로 x에 따라 바뀌는 넓이를 y로 놓는 거예요.
가로를 x라고 놓으면 세로는 둘레의 길이에서 구할 수 있어요. 둘레는 2 × (가로 + 세로) = 36이니까 세로 길이는 18 - x네요.
직사각형의 넓이는 가로 × 세로니까 y = x (18 - x)라는 함수식을 세울 수 있어요
y = x(18 - x)
y = -x2 + 18x
y = -(x2 - 18x)
y = -(x2 - 18x + 92 - 92)
y = -(x - 9)2 + 81
x = 9일 때 최댓값 81을 가지므로 가로가 9cm일 때 넓이가 최대예요. 가로가 9cm니까 세로는 18 - 9 = 9cm군요.
가로, 세로 길이가 모두 9cm인 정사각형일 때 넓이가 최대네요.