이차함수에서 최댓값최솟값을 구하는 방법입니다.

함수의 최댓값과 최솟값은 바로 y 값을 말하는 거지요. 따라서 y의 범위인 치역을 구해야 해요. 치역을 구해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이죠.

일반적으로 정의역(x의 범위)이 주어지지 않으면 x는 실수 전체 집합으로 생각해요. 범위가 주어졌을 때는 그 범위에 맞게 해야겠지요. 또 범위가 주어지지 않더라도 사람 수나 길이 등은 양수나 자연수라는 것도 잊지 마세요.

최대, 최소를 구할 때는 이차함수의 표준형을 이용해요. 일반형으로 나와 있으면 표준형으로 고치세요. y = ax2 + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형

이차함수 최솟값

이차함수의 그래프를 생각해보세요. y = a(x - p)2 + q에서 a > 0이라고 해보죠. 그래프는 어떻게 되나요? a > 0이면 그래프는 아래로 볼록인 모양이에요.

아래로 볼록이니까 그래프에서 가장 아래에 있는 곳의 y 값은 꼭짓점의 y좌표에요. 꼭짓점의 y좌표는 q잖아요. 따라서 y의 범위는 {y|y ≥ q}이죠.

y는 q보다 크거나 같으니까 최솟값은 q에요. 그럼 최댓값은 얼마일까요? 그래프를 다시 한 번 보세요. 대칭축을 기준으로 또는 꼭짓점을 기준으로 좌우 양쪽으로 가면 갈수록 y는 커져요. x 축의 오른쪽 방향으로 얼마나 갈 수 있을까요? 끝도 없이 가겠죠? 그렇다면 그에 해당하는 y 값도 끝도 없이 커질 거예요. x 축 왼쪽 방향으로도 마찬가지죠.

무슨 말이냐면 y가 끝을 알 수 없는 값을 가진다는 거예요. 그래서 그 끝을 알 수 없으므로 최댓값이라는 게 존재하지 않는 거죠.

  • a > 0인 이차함수의 최솟값은 x = p일 때, y = q
  • 최댓값은 구할 수 없다.

이차함수의 최댓값

이차함수 최댓값

이번에는 y = a(x - p)2 + q에서 a < 0이라고 해볼게요. 그래프는 위로 볼록한 모양이에요.

위로 볼록한 그래프에서 가장 높은 곳에 있는 점은 꼭짓점이죠? y의 범위는 {y|y ≤ q}에요. 최댓값이 q라는 얘기죠.

최솟값은 위와 마찬가지로 x축 양쪽으로 가면 갈수록 작아져서 가장 작은 값을 알 수 없어요. 최솟값은 구할 수 없어요.

  • a < 0인 이차함수의 최솟값은 x = p일 때, y = q
  • 최솟값은 구할 수 없다.

이차함수 y = a(x - p)2 + q에서 x의 범위가 주어지지 않으면 이차함수는 최댓값 또는 최솟값 중 하나만 가져요.
a > 0이면 최솟값만
a < 0이면 최댓값만
최댓값/최솟값은 꼭짓점의 y 좌표. x = p일 때 y = q

x의 범위가 주어졌을 때 최대, 최소

흔한 경우는 아닌데, x의 범위가 주어질 때가 있어요. 문제에서 x의 범위를 따로 주는 건 아니고 사람 수라든가 길이, 개수 이런 식으로 특정한 범위를 가질 수밖에 없는 값들이 주어지요. 예를 들어서 20명의 사람이 있는데, 어쩌고 저쩌고에서는 "0 ≤ x ≤ 20인 자연수"라는 범위를 갖는 거죠.

이럴 때도 기본적으로 a > 0이면 꼭짓점에서 최솟값, a < 0이면 꼭짓점에서 최댓값을 갖는 건 같아요. 이건 바뀌지 않아요. 추가로 x 범위의 경계에서 최대, 최소를 가질 수 있는데요.

이차함수의 최댓값, 최솟값

a > 0이면 꼭짓점에서 최솟값, 양쪽 경계 중 한 곳에서 최댓값을 가져요.
a < 0이면 꼭짓점에서 최댓값, 양쪽 경계 중 한 곳에서 최솟값을 가져요.

물론 식에 양쪽 경계의 값을 넣어서 나온 결과를 비교할 수도 있는데요. 간단하게 구하려면 축의 방정식 즉, 꼭짓점의 x좌표에서 더 먼 쪽에서 최대/최소를 가져요.

정리해볼까요

이차함수의 최댓값과 최솟값

  • 이차함수의 최댓값과 최솟값은 a의 부호에 의해 결정
  • a > 0이면 꼭짓점에서 최솟값
  • a < 0이면 꼭짓점에서 최댓값
  • x의 범위가 있을 때
    • a > 0이면 꼭짓점에서 최솟값, 꼭짓점에서 먼 곳에 최댓값
    • a < 0이면 꼭짓점에서 최댓값, 꼭짓점에서 먼 곳에 최솟값
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