이차함수식에서 미지수를 구하면 함수식을 완성시킬 수 있어요. 그런데 이차함수 식을 구하는 것이 아니라 계수의 부호를 판별하는 유형의 문제도 자주 나와요. 이번 글에서는 이차함수의 계수의 부호를 알아내는 방법을 공부합니다.

부호를 구하는 데 무작정 구할 수는 없죠? 바로 그래프를 보고 부호를 판단해야 해요.

이차함수는 두 가지 유형으로 표현하죠? 하나는 표준형, 다른 하나는 일반형 이렇게요.

두 가지 유형에서 계수의 부호을 어떻게 구하는 지 알아볼까요?

y = a(x-p)² + q에서 a, p, q 부호 찾기

이차함수의 표준형에서 계수는 a, p, q 에요.

가장 먼저 알 수 있는 건 a에요. a는 그래프의 모양을 보고 판단합니다. 어떤 모양이요? 어디로 볼록한 지를 보는 거죠.

a < 0 이면 그래프는 위로 볼록이고 a > 0이면 그래프는 아래로 볼록이에요. 그러니까 그래프가 아래로 볼록이면 a > 0이고, 위로 볼록이면 a < 0인 거죠.

이차함수 계수 부호 확인 - a 부호

그 다음은 p, q인데요. p, q는 뭐죠? 그래프의 꼭짓점의 좌표에요. 그러니까 꼭짓점이 어디에 있는지 보면 p, q의 부호를 알 수 있겠죠? 꼭짓점이 1사분면에 있다면 p > 0, q > 0 이런 식으로요.

이차함수 계수 부호 확인 - p, q 부호

y = a(x-p)² + q에서 a, p, q의 부호
a는 그래프가 볼록한 방향: 그래프가 위로 볼록하면 a < 0, 그래프가 아래로 볼록하면 a > 0
p는 꼭짓점의 x좌표의 위치: y축 왼쪽이면 p < 0, y축 오른쪽이면 p > 0
q는 꼭짓점의 y좌표의 위치: x축 아래면 q < 0, x축의 위면 q > 0

아래 y = a(x-p)² + q의 그래프를 보고 a, p, q의 부호를 구하여라.
이차함수 계수 부호 확인 - 예제

왼쪽에 있는 그래프 먼저 볼까요?

그래프가 아래로 볼록이니까 a > 0이고요. 꼭짓점이 3사분면에 있어요. 3사분면(x<0, y<0)에 있으니까 p < 0, q < 0 이에요.

오른쪽 그래프는 위로 볼록이네요. 그래서 a < 0이고, 꼭짓점이 1사분면에 있으니까 p > 0, q > 0이에요.

y = ax² + bx + c에서 a, b, c 부호 구하기

먼저 a부터 부호를 구해보면요. 이차항의 계수인 a는 위에서와 마찬가지로 그래프의 모양, 즉 볼록한 방향을 보고 판단합니다. 똑같아요. 위로 볼록이면 a < 0, 아래로 볼록이면 a > 0이지요.

이차함수 계수 부호 확인 - a 부호

그 다음에는 c를 볼까요? c는 y 절편이에요. 따라서 y 절편이 x축 위면 c > 0, y 절편이 x축 아래면 c < 0이 되지요.

이차함수 계수 부호 확인 - c 부호

a와 c는 그래프를 보면 바로 알 수 있겠죠? 문제는 b인데, 이건 좀 복잡해요.

y = ax² + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형에서 일반형 함수식을 표준형으로 바꾸는 법을 알아봤어요. 이 때는 a, b, c에 숫자가 있었는데, 이걸 숫자가 아닌 문자 그대로 바꾸면 어떻게 되나면요. y = a(x\frac{b}{2a})^{2} 어쩌고 저쩌고가 돼요.

꼭짓점의 x 좌표 그러니까 축의 방정식이 x = -\frac{b}{2a}가 되거든요. 따라서 꼭짓점의 x좌표가 어디인지를 보면 b의 부호를 알 수 있어요.

-\frac{b}{2a}가 y축의 왼쪽에 있다고 해보죠.

-\frac{b}{2a} < 0 \\ \frac{b}{2a} > 0

이게 무슨 말이냐면 b를 2a로 나눴더니 양수가 된다는 말은 둘의 부호가 서로 같다는 뜻이죠. a와 b의 부호가 같은데, a의 부호는 그래프의 볼록한 방향에서 알 수 있으니 b의 부호도 알 수 있는 거죠.

-\frac{b}{2a}가 y축의 오른쪽에 있다고 해보죠.

-\frac{b}{2a} > 0 \\ \frac{b}{2a} < 0

이번에는 b를 2a로 나눈 게 음수가 됐어요. 둘의 부호가 서로 반대라는 뜻이죠. 마찬가지로 a는 그래프의 볼록한 방향으로 알 수 있고, b는 a와 반대 부호를 가진다는 걸 알 수 있겠죠.

이거를 좌동우이라는 말로 표현해요. 그러니까 대칭축이 y축의 왼쪽에 있으면 a와 b의 부호가 같고, 대칭축이 y축의 오른쪽에 있으면 a와 b의 부호가 다르다라는 말이에요.

이차함수 계수 부호 확인 - b 부호

y = ax² + bx + c에서 a, b, c 부호
a는 그래프가 볼록한 방향: 그래프가 위로 볼록하면 a < 0, 그래프가 아래로 볼록하면 a > 0
b는 좌동우이: 대칭축이 y축의 왼쪽이면 a, b의 부호가 같고, 대칭축이 y축의 오른쪽이면 a, b의 부호가 반대
c는 y절편: y절편이 x축보다 위에 있으며 c > 0, y절편이 x축보다 아래 있으면 c < 0

아래 y = ax² + bx + c의 그래프를 보고 a, b, c의 부호를 구하여라..
이차함수 계수 부호 확인 - 예제

왼쪽에 있는 그래프 먼저 볼까요?

그래프가 아래로 볼록이니까 a > 0이고요. 대칭축이 y축 왼쪽에 있죠? 좌동우이니까 b의 부호는 a의 부호와 같아요. a > 0이니까 b > 0이네요. y절편이 x축보다 아래 있어서 c < 0이에요.

답은 a > 0, b > 0, c < 0 입니다.

오른쪽 그래프는 위로 볼록이니까 a < 0이고요. 대칭축이 y축의 오른쪽에 있으니까 a와 b의 부호가 반대에요. 따라서 b > 0이죠. y절편은 x축보다 아래 있어서 c < 0입니다.

답은 a < 0, b > 0, c < 0이네요.

정리해볼까요

y = a(x-p)² + q에서 a, p, q 부호

  • a는 그래프가 볼록한 방향: 그래프가 위로 볼록하면 a < 0, 그래프가 아래로 볼록하면 a > 0
  • p는 꼭짓점의 x좌표의 위치: y축 왼쪽이면 p < 0, y축 오른쪽이면 p > 0
  • q는 꼭짓점의 y좌표의 위치: x축 아래면 q < 0, x축의 위면 q > 0

y = ax² + bx + c에서 a, b, c 부호

  • a는 그래프가 볼록한 방향: 그래프가 위로 볼록하면 a < 0, 그래프가 아래로 볼록하면 a > 0
  • b는 좌동우이: 대칭축이 y축의 왼쪽이면 a, b의 부호가 같고, 대칭축이 y축의 오른쪽이면 a, b의 부호가 반대
  • c는 y절편: y절편이 x축보다 위에 있으며 c > 0, y절편이 x축보다 아래 있으면 c < 0
 
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