이차함수의 그래프에 대해서 공부하고 있는데, y = a(x - p)2 + q꼴 이었어요. 이런 형태를 이차함수의 표준형이라고 해요.

이차방정식에서는 ax2 + bx + c = 0 꼴을 이차방정식의 일반형이라고 하는데, 이차함수에도 일반형이 있어요. 이차함수의 일반형은 이차방정식 우변의 0을 y로 바꾸고, 좌우변을 바꾼 y = ax2 + bx + c이에요.

이차함수의 일반형 y = ax2 + bx + c

y = ax2 + bx + c의 특징을 먼저 알아볼까요?

이차함수 y = a(x - p)2 + q의 그래프에서 그래프의 모양과 폭을 결정하는 건 뭐죠? 이차항의 계수인 a죠. 일반형에서도 이차항의 계수가 그래프의 폭과 모양을 결정합니다.

y = ax2 + bx + c에서 이차항의 계수는 a이고 a > 0이면 그래프는 아래로 볼록, a < 0이면 위로 볼록이예요. 또 |a|가 클수록 그래프의 폭은 좁아집니다.

x절편은 y = 0일 때의 x좌표죠? y = 0을 넣어볼까요? 0 = ax2 + bx + c가 되어서 이차방정식의 해가 x절편이 되는 걸 알 수 있어요.

y절편은 x = 0일 때의 y좌표죠? x = 0을 넣어보면 y = c가 돼요. 따라서 y절편의 좌표는 (0, c)예요.

일반형은 표준형보다 x, y 절편 찾기가 쉬워요.

표준형은 꼭짓점이나 축의 방정식, y값의 범위를 알아보기가 쉽죠. y = a(x - p)2 + q에서 꼭짓점은 (p, q)라는 걸 알 수 있잖아요.

그러니까 꼭짓점을 찾을 때는 표준형, y절편을 찾을 때는 일반형이 편하겠죠. 그래프의 모양이나 폭은 어떤 것이든 상관없고요.

그런데 함수식을 두 가지 형태로 다 주는 건 아니잖아요. 식이 표준형이면 x = 0, y = 0을 대입해서 x, y 절편을 찾을 수 있어요. 하지만 일반형일 때는 그 상태 그대로 꼭짓점이나 y값의 범위를 찾을 방법이 없죠.

그래서 일반형을 표준형으로 바꿔야 해요.

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이

일반형은 x에 관해 내림차순으로 쓰인 식이고, 표준형은 완전제곱식을 포함하고 있는 식이에요. 그러니까 완전제곱식 + 상수항의 꼴이죠.

일반형을 완전제곱식으로 바꾸는 걸 우리는 이미 해봤어요. 바로 “완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이”에서요.

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서 어떻게 했는지 보죠.

  1. 이차항의 계수로 양변을 나눈다
  2. 상수항을 우변으로 이항
  3. 완전제곱식 만들기을 양변에 더해준다.
  4. 좌변을 완전제곱식으로 인수분해: (x + p)2 = k
  5. 제곱근을 이용하여 해를 구한다.

x2 - 2x - 6 = 0

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이

기억 나죠? 정말 많이 해봤던 문제잖아요.

y = ax2 + bx + c를 y = a(x-p)2 + q로 바꾸기 (일반형을 표준형으로)

이차방정식에서 완전제곱식을 만들었던 것과 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸는 건 80% 비슷해요.

다른 건 두 가지. 위의 순서에서 2번에 있는 상수항을 우변으로 이항하는 게 없어요. 그리고 해를 구하는 게 아니니까 5번 단계가 필요 없어요. 두 단계가 줄었으니까 더 편하겠죠?

그다음에는 이차항의 계수로 양변을 나눈다고 했는데, 이걸 “이차항의 계수로 이차항과 일차항을 묶는다.”로 바꾸면 돼요. 인수분해한다는 얘기예요. 완전제곱식 만들기을 양변에 더해주는 건 좌변에만 한 번 더해주고, 빼주는 걸로 바꿔요. 그 외 나머지는 다 똑같아요.

연습을 한번 해보죠.

y = 2x2 + 4x + 5의 꼭짓점의 좌표과 축의 방정식을 구하여라.

먼저 이차항의 계수로 이차항과 일차항을 묶어요.
y = 2(x2 + 2x) + 5

완전제곱식 만들기을 더해줘야 하는데 어디에 더하냐면 괄호로 묶인 부분 안에 더해줘요. 그리고 원래 식에 없던 값을 더해줬으니까 한 번 빼줘야 원래 식과 같은 식이 되겠죠? 빼주는 것도 괄호 안에 빼줘요. 문제에서는 (2 / 2)2 = 1을 더해주고 빼줘야겠네요.

y = 2(x2 + 2x + 1 - 1) + 5

괄호 안에 있는 부분 중 앞의 세 항(x2 + 2x + 1)을 완전제곱식으로 바꾸세요.

y = 2{(x + 1)2 - 1} + 5

괄호 안에는 완전제곱식과 상수항이 남아있는데, 이 상수항을 괄호 밖으로 빼네요. 이때 주의해야할 건 괄호 앞에 이차항의 계수였던 2가 있으니까 분배법칙을 이용해서 빼내야 한다는 거예요.

y = 2(x + 1)2 - 2 + 5
y = 2(x + 1)2 + 3

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이와 거의 비슷하죠? 이렇게 표준형으로 바꿨더니 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식을 구할 수 있겠네요. 꼭짓점은 (-1, 3), 축의 방정식은 x = -1이군요.

한 문제 더 해보죠.

y = -x2 + 4x -2의 꼭짓점과 y절편을 구하여라.

꼭짓점은 표준형에서 y절편은 일반형에서 구하는 게 편해요.

문제의 식이 일반형이니까 y절편부터 구해보죠. 이차함수 y = ax2 + bx + c에서 y절편의 좌표는 (0, c)니까 (0, -2)네요.

꼭짓점을 구하기 위해서 일반형을 표준형으로 바꿔보죠.

이차함수 일반형을 표준형으로 바꾸기

꼭짓점의 좌표는 (2, 2)이고 y 절편의 좌표는 (0, c)니까 (0, -2)네요.

정리해볼까요

y = ax2 + bx + c

  • a > 0이면 그래프는 위로 볼록
  • a < 0이면 그래프는 아래로 볼록
  • |a|가 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
  • x절편은 이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 해
  • y절편은 (0, c)

y = ax2 + bx + c 를 y = a(x-p)2 + q 로 바꾸기

  1. 이차항의 계수로 이차항과 일차항을 묶는다.
  2. 괄호안에 완전제곱식 만들기를 더해주고 뺀다.
  3. 괄호안의 세 항을 완전제곱식으로 만든다.
  4. 괄호안의 상수항을 괄호밖으로 뺀다. 괄호밖의 이차항의 계수와 분배법칙 이용
  5. 괄호밖으로 뺀 상수항을 계산
 
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