이번에는 이차함수 그래프를 대칭이동 시켜볼꺼에요. 선대칭, 점대칭 이런 용어 들어보셨죠?

우리는 선대칭을 이용할 건데, 그렇다고 아무 선이나 막 그어서 대칭시키는 게 아니에요. 좌표평면에 우리가 자주 보는 선이 두 개 있어요. 바로 x축과 y축이에요. 이차함수 그래프를 두 선에 대칭 시키는 걸 공부할 겁니다.

이차함수 그래프를 평행이동할 때 그래프의 폭과 모양은 바뀌지 않았어요. 이차함수 그래프를 대칭이동 시킬 때는 모양은 바뀌지만 폭은 그대로예요. 즉 그래프를 평행, 대칭이동 시켜도 그래프의 폭은 바뀌지 않는다는 걸 미리 알아두세요.

이차함수 그래프의 x축 대칭이동

아래는 y = (x-1)2 + 1 그래프와 이 그래프를 x축에 대칭 시킨 그래프입니다.

이차함수 그래프의 x축 대칭이동

y = (x-1)2 + 1에서 a = 1이라서 아래로 볼록한 그래프인데, 대칭이동 시켰더니 위로 볼록이 되었어요. 그래프의 폭은 같으니까 1인데, 위로 볼록이니까 음수여야하죠? 그래서 a = -1이에요.

점들을 보세요. (1, 1)이 (1, -1)로, (2, 2)가 (2, -2)로, (3, 5)가 (3, -5)로 바뀌었죠? 이차함수 그래프를 x축에 대하여 대칭시켰더니 어떻게 되나요? x값은 그대로인데, y 값들만 부호가 반대로 되었죠?

이차함수 그래프를 x축에 대하여 대칭이동 시키면 y의 부호가 반대가 돼요. 즉, y 대신에 -y를 넣어주면 돼요.

y = (x - 1)2 + 1에 y = -y를 넣어주면
-y = (x - 1)2 + 1
y = -(x - 1)2 - 1

위의 식에서 a가 1에서 -1로 부호가 바뀌었죠? 그리고 q의 부호도 바뀌었어요.

y = a(x - p)2 + q에 y대신 -y 대입
-y = a(x - p)2 + q
y = -a(x - p)2 - q

이차함수 그래프의 y축 대칭이동

아래는 y = (x - 3)2 + 1의 그래프에요.

이차함수 그래프의 y축 대칭이동

y축에 대칭이동 시켰어도 그래프는 그대로 위로 볼록한 모양이에요. a 값의 변화가 없다는 얘기에요.

점을 한 번 살펴볼께요. (3, 1)이 (-3, 1)로, (4, 2)가 (-4, 2)로, (5, 5)가 (-5, 5)로 바뀌었어요. y는 그대로인데, x는 부호가 반대로 바뀌었죠? 따라서 함수식에서도 x 대신 -x를 넣어주면 돼요.

y = (x-3)2 + 1에 x = -x를 대입해보죠.
y = (-x - 3)2 + 1
y = {-(x + 3)}2 + 1
y = (x + 3)2 + 1

x = -x를 대입했더니, 완전제곱식 부분의 부호가 반대로 바뀌었죠? 뒤에 q 부분은 바뀌지 않았어요.

y = a(x - p)2 + q에 x대신 -x대입
y = a(-x - p)2 + q
y = a{-(x + p)}2 + q
y = a(x + p)2 + q

이차함수 그래프의 평행이동과 대칭이동

이차함수의 평행이동과 대칭이동을 잘 비교해서 차이를 알아야 해요.

이차함수의 평행이동

이차함수 y = ax2의 그래프를 x축으로 p만큼 평행이동 시키면 x 대신 x - p 대입
     y = ax2 → y = a(x - p)2
이차함수 y = ax2의 그래프를 y축으로 q만큼 평행이동 시키면 y 대신 y - q 대입
     y = ax2 → y - q = ax2 → y = ax2 + q
이차함수 y = ax2의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동 시키면 x 대신 x - p, y 대신 y - q 대입
     y = ax2 → y - q = a(x - p)2 → y = a(x - p)2 + q

이차함수 그래프의 대칭이동

이차함수 y = a(x - p)2 + q의 그래프를 x축에 대칭이동 시키면 y 대신 -y 대입
      y = a(x - p)2 + q → y = -a(x - p)2 - q
이차함수 y = a(x - p)2 + q의 그래프를 y축에 대칭이동 시키면 x 대신 -x 대입
      y = a(x - p)2 + q → y = a(x + p)2 + q

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정리해볼까요

이차함수 그래프의 대칭이동

  • x축에 대칭: y = -y 대입
  • y축에 대칭: x = -x 대입
 
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