이번에는 이차함수 그래프의 특징에 대해서 알아볼 거예요. 이차함수 그래프 그리기에서 잠깐 봤지만 이차함수 그래프는 직선이 아니라 곡선, 정확히는 포물선이에요. 가운데 뾰족한 부분이 있고 그 양쪽은 서로 대칭인 모양이죠.

일차함수 y = ax에서 a를 기울기라고 했는데, 이차함수에서는 기울기라는 표현을 쓰지 않아요. 대신 이차항의 계수라고 그냥 편하게 부르면 돼요.

y = x²의 그래프를 그려보았는데요, 이번에는 x²의 계수가 1이 아닌 2, 3.. 일 때 그래프의 특징에 대해서 알아보죠. 또 a의 부호에 따라 그래프가 어떻게 달라지는 지도 알아봐요.

y = ax² 그래프의 성질 (a > 0일 때)

이차함수니까 당연히 a≠0이에요.

아래는 y = x²의 그래프에요. 그래프를 보면서 특징을 하나씩 적어볼께요. a = 1이긴 하지만 a가 2, 3,4,.. 가 되어도 특징은 같아요.

y=x² 그래프.

그래프를 보면 알겠지만 그래프는 아래로 튀어나온 모양이죠? 이걸 아래로 볼록한 모양이라고 표현해요. 다른 말로 위로 오목하다라고 하기도 하고요.

그리고 원점 (0, 0)을 지나요. 원점을 기준으로 양쪽이 서로 대칭이에요. 이렇게 뾰족한 점을 꼭짓점이라고 해요.

꼭짓점 양쪽의 그래프를 잘 살펴보면 서로 대칭인 것을 알 수 있어요. 선대칭인데, 이 대칭이 되는 선을 대칭축이라고 불러요. 대칭축은 y축이네요. y축을 식으로 나타내면 x = 0 이죠. 이 x = 0을 축의 방정식이라고 불러요. 대칭축을 방정식으로 표현했다는 얘기에요.

축을 기준으로 해서 오른쪽 부분은 x가 증가하면 y도 증가하죠. 그런데 축의 왼쪽 부분은 x가 증가하면 y가 감소해요.

함수에는 정의역, 공역, 치역이 있어요. 정의역과 공역은 따로 얘기하지 않는다면 실수 전체의 집합을 말합니다. 치역은 어떤가요? 실제 y값들의 집합을 말하는데, 치역도 실수 전체의 집합인가요? 아니죠. y는 원점에서 가장 작고 그 외에는 0보다 커요. 따라서 치역은 {y|y ≥ 0}이 돼요.

아래는 y = x²와 y = 2x² 그래프를 함께 그린 건데, 계수가 커질수록 그래프는 y축에 가까워지죠? 이걸 폭이 좁아진다라고 표현합니다. 즉, a가 커질수록 그래프의 폭이 좁아진다라고 하죠.

이차함수 그래프의 특징 - a와 그래프 폭의 관계 (a > 0)

y = ax² 그래프의 성질 (a < 0일 때)

이번에는 a < 0인 y = -x² 그래프를 보고 특징을 알아보죠.

y=-x² 그래프

y = x²의 그래프와 마찬가지로 원점을 지나고, 이 원점을 꼭짓점으로 해요.

y = -x²그래프는 위쪽에 뾰족한 부분이 있죠? 그래서 위로 볼록이라고 해요.

y = x²와 마찬가지로 y축에 대해서 대칭이죠. 그러니까 축의 방정식도 x = 0으로 같아요.

그래프를 보면 가장 큰 y값이 0이고 나머지는 0보다 작죠? 그래서 치역은 {y|y≤0}이 돼요.

아래는 y = -x²와 y = -2x² 그래프를 함께 그린 건데, 계수가 작아질수록 그래프는 y축에 가까워지죠? 폭이 좁아져요.
계수인 a 가 0보다 클 때는 a가 커지면 폭이 좁아진다고 했는데, a < 0 일 때는 계수가 작아져야 폭이 좁아져요. 이걸 한 번에 표현하면 a의 절댓값이 커지면 그래프의 폭이 좁아진다라고 할 수 있어요. 일차함수에서도 y = ax + b에서 a의 절댓값이 커지면 그래프는 y축에 가까워지는 걸 알 수 있었어요.

이차함수 그래프의 특징 - a와 그래프 폭의 관계 (a < 0)

y = ax² 그래프의 특징

  a > 0 a < 0
꼭짓점 원점(0, 0)
축의 방정식 y축 (x = 0)
그래프의 폭 |a|가 커질수록 폭은 좁아진다.
 
볼록한 방향 아래로 볼록 위로 볼록
x < 0 일 때 x 증가 → y 감소 x 증가 → y 증가
x > 0 일 때 x 증가 → y 증가 x 증가 → y 감소
치역 {y|y ≥ 0} {y|y ≤ 0}

이차함수 y = 2x²에 대한 설명으로 틀린 것은?
① 원점을 꼭짓점으로 한다.
② x > 0 일 때 x가 증가하면 y도 증가한다.
③ y축에 대하여 대칭이다.
④ 위로 볼록한 포물선이다.
⑤ 제 1, 2분면을 지난다.

원점을 지나고 y축에 대해 대칭인 것은 a와 상관없는 이차함수 그래프의 특징이에요. 그래서 1번과 3번은 맞아요.

y = 2x²에서 a가 0보다 크네요. 그래프의 모양을 생각해보세요. x > 0 인 곳은 그래프에서 오른쪽 부분이에요. 오른쪽 부분은 x가 커지면 y도 함께 커져요. 따라서 2번은 맞아요.

a > 0이니까 아래로 볼록한 곡선이죠? 4번은 틀렸네요.

치역이 {y|y≥0}이니까 1, 2 사분면을 지나는 것도 맞아요.

따라서 틀린 것은 4번이네요

정리해볼까요

y = ax² 그래프의 특징

  • 원점을 꼭짓점으로 한다.
  • y축에 대하여 대칭. 축의 방정식은 x = 0
  • a의 절댓값이 커지면 그래프의 폭이 좁아진다.
  • a > 0
    • 아래로 볼록
    • x<0 일 때, x 증가 → y 감소
      x>0 일 때, x 증가 → y 증가
    • 치역 = {y|y≥0}
  • a < 0
    • 위로 볼록
    • x<0 일 때, x 증가 → y 증가
      x>0 일 때, x 증가 → y 감소
    • 치역 = {y|y≤0}
 
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