이제 이차함수의 그래프와 그래프의 평행이동에 대해서 알아봤으니까 식 구하는 걸 한 번 해보죠. 일차함수 식 구하는 것도 기억이 나나요?

일차함수 식 구하기, 직선의 방정식 구하기그래프를 보고 직선의 방정식 구하기

일차함수에서 처럼 여러가지 특징을 가지고 또는 그래프에서 특징들을 알아낸 다음에 이차함수를 구하는 방법에 대해서 알아볼까요.

이차함수는 y = a(x-p)² + q도 쓰고, y = ax² + bx + c로도 써요. 이차함수 식을 구한다는 얘기는 a, p, q를 구하거나 a, b, c를 구한다는 얘기가 되겠죠.

점의 좌표를 주고 이차함수를 구하라고 하는데요. 이차함수가 특정한 점을 지난다는 얘기는 점의 좌료를 식의 x, y에 대입하면 식이 참이 된다는 뜻이에요. 그래서 점의 좌표를 식에 넣어서 미지수를 구하게 돼요.

꼭짓점의 좌표와 다른 한 점의 좌표를 알 때

이차함수의 표준형 y = a(x-p)² + q에서 꼭짓점은 (p, q)에요. 이걸 거꾸로 하면 꼭짓점이 (p, q)이면 그 함수식은 y = a(x-p)² + q가 된다는 얘기죠.

우리가 알고 싶은 건 a, p, q인데, p, q는 꼭짓점의 좌표에서 알았으니 이제 a만 알면 되겠죠? 이 a를 구하려면 꼭짓점과 함께 주어진 점의 좌표를 위 식에 대입하세요. 문자는 a만 남게되니까 일차방정식으로 풀 수 있어요.

꼭짓점의 좌표가 (1, 2)이고 (2, 4)를 지나는 포물선을 구하여라.

꼭짓점의 좌표가 (1, 2)면 이차함수 표준형은 y = a(x-1)² + 2가 돼요. 여기에 x = 2, y = 4를 대입해볼까요?
4 = a(2-1)² + 2
4 = a + 2
a = 2

a를 구했어요. 따라서 구하는 이차함수 식은 y = 2(x-1)² + 2가 됩니다.

축의 방정식 x = p와 다른 두 점의 좌표를 알 때

축의 방정식은 바로 꼭짓점의 x 좌표와 같아요. 꼭짓점의 x좌표가 1이라면 축의 방정식은 x = 1이 돼요. 꼭짓점의 x좌표가 10이라면 축의 방정식은 x = 10이 되고요. 꼭짓점의 x좌표를 알려준 것과 축의 방정식을 알려준 것은 결국 같은 정보를 준 겁니다.

y = a(x-p)² + q에서 꼭짓점의 x좌표인 p를 구했으니 이제 a와 q만 구하면 되겠죠? 이 함수식에 서로 다른 두 점의 좌표를 각각 대입하세요. 그러면 미지수가 a와 q가 있는 연립방정식이 돼요. 연립방정식을 가감법과 대입법을 이용해서 풀면 a, q를 구할 수 있겠죠?

연립방정식의 풀이법 - 가감법 1, 연립방정식의 풀이법 - 가감법 두 번째, 연립방정식의 풀이법 - 대입법

축의 방정식이 x = -1이고 (-1, 2), (1, -2)를 지나는 이차함수를 구하여라.

축의 방정식이 x = -1이니까 함수식은 y = a(x+1)² + q가 돼요. 여기에 두 점의 좌표를 대입해보죠.

2 = a(-1+1)² + q, -2 = a(1+1)² + q라는 두 식이 나오네요.

첫번째 식에서 q = 2가 되고, 이 걸 두번째 식에 대입하면 a = -1이 나와요.

따라서 구하는 이차함수는 y = -(x+1)² + 2가 됩니다.

서로 다른 세 점의 좌표를 알 때

세 점의 좌표를 알 때는 이차함수의 표준형이 아닌 일반형 y = ax² + bx + c를 사용해요. 표준형 y = a(x-p)² + q을 사용하면 p가 제곱이 되어서 구하기가 귀찮거든요.

여기에서는 a, b, c 세 개의 미지수 값을 구해야합니다.

두 점의 좌표를 넣으면 식이 두 개인 연립방정식이 돼죠? 그럼 세 점의 좌표를 넣으면 어떻게 될까요? 식이 세 개인 연립방정식이 돼요. 하지만 미지수가 세개이고 식이 세개인 연립방정식을 푸는 방법을 배우지 않았어요. 그래서 점의 좌표를 줄 때 형식상으로는 세 점의 좌표인 것처럼 보이지만 실제로는 두 점의 좌표만 줍니다.

바로 y 절편을 주기 때문이죠. y = ax² + bx + c에서 c는 y절편이라는 걸 알아요. 그래서 점의 좌표를 줄 때 c를 바로 알 수 있도록 (0, c)라는 점을 줍니다. 제일 먼저 y절편을 이용해서 c를 구해요. 그럼 식에서 모르는 문자는 a, b 두 개죠? 다음에 다른 두 점의 좌표를 식에 넣으세요. 그러면 연립방정식이 돼요.

뭐라고요? x = 0인 점의 좌표를 먼저 찾는 게 중요하다고요.

이해하셨나요? 예제를 볼까요?

세 점 (0, 0), (1, 2), (-1, 4)를 지나는 이차함수를 구하여라.

세 점을 줬는데요. 그중에 주목해야할 점은 바로 (0, 0)이에요. 주의하세요. 원점이 주어졌다고 해서 그게 꼭짓점은 아니에요.

(0, 0)만 먼저 y = ax² + bx + c에 대입해보죠.
0 = a × 0² + b × 0 + c
c = 0

c = 0이므로 식은 y = ax² + bx가 돼요. 이제 미지수는 a, b 두 개만 남았잖아요. 두 점의 좌표를 대입해보죠.

2 = a + b, 4 = a - b 라는 연립방정식이 됐어요. 연립해서 풀어보면 a = 3, b = -1이 돼요.

따라서 구하는 이차함수 식은 y = 3x² - x입니다.

x축과의 두 교점과 다른 한 점을 알 때

x축과의 교점의 좌표를 두 개를 알려줘요. 그게 무슨 의미인지 알아보죠. x 축과의 교점이라는 말은 y = 0이라는 뜻이에요. 이걸 식으로 써보면 0 = ax² + bx + c가 되는 거죠. 이게 뭐죠? 이차방정식이잖아요. 즉 이차방정식의 두 근을 알려주고 식을 구하라는 문제가 같은 형식인 거죠.

합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에서 공부했던 내용인데, 다시 정리해보죠.

두 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기

우변의 0을 y로 바꾸면 돼요.

두 근은 바로 x축과의 교점의 좌표이니까 모르는 건 a만 남겠죠? 이 a는 교점이 아닌 다른 한 점의 좌표를 대입해서 구할 수 있어요.

다만 문제에서 x축과의 교점이라고 얘기해주지 않아요. 그냥 세 점의 좌표만 주는데, 세 점의 좌표 중에서 y = 0인 좌표가 두 개있으면 이 유형의 문제인 것이죠.

세 점 (0, 6), (3, 0), (-2, 0)을 지나는 이차함수를 구하여라.

세 점의 좌표 중 y = 0인 좌표 (3, 0), (-2, 0)을 찾아내야 해요. 이 점을 찾아냈으면 식으로 써봐야겠죠? y = a(x-3)(x+2)라고 놓을 수 있겠군요.

그 다음에 위 식에 (0, 6)을 대입하세요. 6 = a(0-3)(0+2)에서 a = -1인 걸 알 수 있어요.

식으로 쓰면 y = -(x-3)(x+2)인데, 이차함수는 표준형 또는 일반형으로 표현하기때문에 식을 전개해보죠. y = -x² + x + 6이 되는 군요.

그런데, 위 세 점을 자세히 보면 (0, 6)이라는 x = 0인 점의 좌표가 주어졌어요. 따라서 위에서 했던 y = ax² + bx + c에 c = 6으로 놓고 다른 두 점의 좌표를 대입해서 연립방정식으로 풀어도 돼요.

정리해볼까요

이차함수식 구하기: 일반형/표준형으로 식을 세우고 점의 좌표를 식에 대입하여 미지수를 구한다.

  • 꼭짓점과 다른 한 점의 좌표를 알 때
    1. y = a(x-p)² + q
    2. 꼭짓점의 좌표를 대입해서 식을 간단히
    3. 다른 한 점의 좌표를 대입
  • 축의 방정식과 서로 다른 두 점의 좌표를 알 때
    1. y = a(x-p)² + q
    2. 꼭짓점의 x좌표를 대입하여 식을 간단히
    3. 서로 다른 두 점의 좌표를 대입해서 연립방정식 풀이
  • 서로 다른 세 점의 좌표를 알 때
    1. y = ax² + bx + c
    2. x = 0인 점의 좌표를 이용해서 식을 간단히
    3. 다른 두 점의 좌표를 식에 대입해서 연립방정식 풀이
  • x축과의 두 교점과 다른 한 점의 좌표를 알 때
    1. 이차방정식에서 두 근을 알 때 식 구하기 방법을 응용 y = a(x-α)(x-β)
    2. y = 0 인 점의 좌표를 이용 식을 간단히
    3. 다른 한 점의 좌표를 대입
 
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