이차함수의 그래프와 이차부등식의 관계예요. 이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식의 해를 구하는 과정입니다. 이차함수의 그래프와 판별식을 이용해서 이차부등식의 해를 구하는 것으로 결론은 기존에 알고 있던 이차부등식의 해를 구하는 방법과 같으니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 이글을 보고 나면 이차부등식의 풀이, 판별식과 이차부등식의 해에서 했던 내용이 훨씬 깔끔하게 정리가 될 거예요.

이차함수, 이차방정식, 이차부등식의 관계를 파악해보고 이들이 좌표평면 위의 그래프에서 어떤 위치를 갖는지도 잘 이해해보세요.

이차함수의 그래프와 이차부등식의 해

이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)의 그래프를 이용하여 이차부등식 ax2 + bx + c > 0의 해를 구하는 방법이에요. 사실 굳이 그래프를 그리지 않고도 해를 구할 수 있는데, 그래프를 그리면 좀 더 확실히 이해할 수 있죠.

여기서는 a > 0일 때만 살펴보죠. a < 0이면 양변에 (-1)을 곱해서 a > 0으로 바꿔서 생각하면 되니까요.

a > 0이면 이차함수의 그래프는 아래로 볼록이에요. 판별식 D에 따라 x축과의 교점의 개수가 달라지죠. 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근에서는 교점의 x좌표가 이차방정식의 해였고, 교점의 개수는 해의 개수라고 했어요.

이차부등식에서는 교점의 x좌표가 해를 구하는 경곗값이에요.

표의 그래프를 잘 보세요.

D > 0일 때, y = ax2 + bx + c의 그래프는 x축과 두 점 α, β에서 만나요. x = α일 때와 x = β일 때, ax2 + bx + c = 0이 되어 그래프는 x축과 만나죠. 이차부등식 ax2 + bx + c > 0의 좌변은 0보다 크니까 그래프에서 x축(y = 0)보다 위에 있는 구간을 찾아야 해요. x축보다 위에 있는 구간은 x < α일 때와 x > β일 때에요. 따라서 ax2 + bx + c > 0의 해는 x < α or x > β가 되는 겁니다.

D = 0일 때 그래프는 x축과 한 점에서 만나요. 이 점을 α라고 해보죠. ax2 + bx + c > 0은 x축보다 위에 있는 구간을 해로 갖는데, x축과 만나는 한 점 x = α를 빼고는 모두 x축보다 위에 있어요. 따라서 해는 x ≠ α인 모든 실수가 돼요.

D < 0일 때 그래프는 x축과 만나지 않아요. 따라서 모든 구간에서 그래프가 x축보다 위에 있으니까 해는 모든 실수가 돼요.

ax2 + bx + c < 0의 해는 x축보다 아래에 있는 구간을 찾으면 되겠죠? D > 0일 때는 α < x < β, D = 0일 때와 D < 0일 때는 해가 없어요.

이차방정식에서는 복소수에서 해를 구했기 때문에 허근을 근으로 봤지만, 이차부등식에서는 실수 범위에서만 해를 구해요.

이차함수의 그래프와 이차부등식의 해 (a > 0, α ≤ β)
D > 0 D = 0 D < 0
y = ax2 + bx + c의 그래프
ax2 + bx + c = 0의 해 x = α or x = β
서로 다른 두 실근
x = α
중근
실수인 해는 없다.
서로 다른 두 허근
ax2 + bx + c > 0 x < α or x > β x ≠ α인 모든 실수 모든 실수
ax2 + bx + c ≥ 0 x ≤ α or x ≥ β 모든 실수 모든 실수
ax2 + bx + c < 0 α < x < β 해는 없다. 해는 없다.
ax2 + bx + c ≤ 0 α ≤ x ≤ β x = α 해는 없다.

이 내용은 이차부등식의 풀이, 판별식과 이차부등식의 해에서 했던 내용과 같아요. 그때는 식을 이용해서 해를 구했다면 이번에는 이차함수의 그래프를 이용해서 해를 구했다는 차이가 있을 뿐이죠.

이차부등식의 해를 구하는 게 생각나지 않을 때는 이차함수의 그래프를 그리고 x축과의 관계를 보고 해를 구할 수 있어요.

이차부등식 x2 + (k + 1) x + 4 > 0의 해가 모든 실수일 때 실수 k의 범위를 구하여라.

x2 + (k + 1)x + 4 >0 0의 해가 모든 실수라는 말은 항상 성립한다는 얘기예요.

문제에서 이차부등식의 부등호에 등호가 포함되어 있지 않아요. 이런 꼴의 이차부등식이 모든 실수를 해로 가지려면 그래프가 x축보다 항상 위에 있는 경우로 위 표에서 제일 오른쪽 그림이 되겠죠. 따라서 D < 0이 되어야 합니다.

(k + 1)2 - 4 × 1 × 4 < 0
k2 + 2k + 1 - 16 < 0
k2 + 2k - 15 < 0
(k - 3)(k + 5) < 0

-5 < k < 3

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정리해볼까요

이차함수 y = ax2 + bx + c (a > 0)의 그래프와 이차부등식의 해

  • 이차함수의 그래프와 x축과의 교점을 α, β (α ≤ β)
  • ax2 + bx + c > 0의 해
    • D > 0 ⇔ x < α or x > β
    • D = 0 ⇔ x ≠ α인 모든 실수
    • D < 0 ⇔ 해는 모든 실수
  • ax2 + bx + c < 0의 해
    • D > 0 ⇔ α < x < β
    • D = 0 ⇔ 해는 없다.
    • D < 0 ⇔ 해는 없다.
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