직선의 방정식을 구해봤어요. 이제 직선의 방정식을 그래프로 그려볼 거예요. 웬만한 건 일차함수 그래프 그리기에서 해봤으니까 여기서는 새로운 것을 해보죠.
절댓값 기호가 들어있는 직선의 방정식 그래프를 그리는 거예요. 절댓값 기호의 위치가 여러 가지가 있고, 이 위치에 따라 그리는 방법이 달라져요. 매우 어렵고 상당히 헷갈리는 내용이죠.
헷갈리지 않게 잘 읽어보고 그래도 어려운 것 같으면 가장 기본적인 원리만이라도 익히도록 하세요.
절댓값 기호가 포함된 식의 그래프
가장 기본적인 y = x의 그래프를 그려보죠.
원점을 지나고 1, 3사분면을 지나는 그래프네요.
y = |x|의 그래프를 그려볼까요? 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서 절댓값 기호 안을 0이 되게 하는 숫자를 기준으로 구간을 나눠서 계산했죠? 여기서도 그렇게 해보죠.
y = |x|
x ≥ 0일 때, y = x
x < 0일 때 y = -x
그래프로 그려보면
이렇게 나옵니다. 모양이 어떤가요? y = x그래프에서 x ≥ 0인 곳은 그대로이고, x < 0인 부분 즉 y < 0인 부분을 x축에 대칭이동 시킨 모양이에요.
이걸 다른 말로 표현해 보죠. 우변이 |x|로 양수이기 때문에 좌변 y도 항상 양수여야 해요. 따라서 y < 0인 부분을 꺾어버렸다고 생각하면 돼요.
이번에는 y = |x - 1|의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 절댓값 기호 안이 0이 되는 구간을 나누어 합니다.
y = |x - 1|
x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1일 때, y = x - 1
x - 1< 0 → x < 1일 때, y = -x + 1
y = x - 1 그래프에서 x ≥ 1인 곳은 그대로이고, 이 부분을 y축 방향으로 대칭이동 시킨 모양이에요.
좌변 y는 항상 양수여야 하죠? 그래서 y < 0인 부분의 그래프를 꺾어버렸다고 생각하세요.
이번에는 y = |x| - 1의 그래프를 그려보죠.
y = |x| - 1
x ≥ 0일 때, y = x - 1
x < 0일 때 y = -x - 1
y = x - 1의 그래프에서 x ≥ 0인 곳은 그대로, 이 부분을 y축에 대칭이동 시킨 모양이에요. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(x ≥ 0)의 그래프 y = x - 1을 그리고 이걸 y축에 대칭 시킨 모양이죠.
-1을 좌변으로 이항하면 y + 1 = |x|가 돼요. 우변이 항상 양수이므로 좌변의 y + 1이 0보다 작은 부분(y < -1)을 꺾어버렸어요.
|y| = x의 그래프를 그려보죠. 이번에는 y에 절댓값 기호가 있네요.
y ≥ 0일 때, y = x
y < 0일 때, y = -x
y = x의 그래프에서 y ≥ 0인 곳은 그대로 두고 이 부분을 x축에 대칭이동 시킨 모양입니다. 좌변이 |y|이기 때문에 x는 항상 양수에요. 그러니까 x < 0인 부분을 꺾어버린 거죠.
|y| = x - 1의 그래프를 그려보죠.
|y| = x - 1
y ≥ 0일 때, y = x - 1
y < 0일 때, y = -x + 1
y = x - 1의 그래프에서 y ≥ 0인 부분은 그대로이고, 이 부분을 x축에 대칭이동 한 모양입니다. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(y ≥ 0)의 그래프 y = x - 1을 그리고, 이걸 x축 방향으로 대칭이동 시킨 모양이지요.
좌변이 |y|로 항상 양수입니다. 따라서 x - 1이 0보다 작은 부분을 꺾어버렸어요.
이번에는 x, y에 절댓값이 있는 |y| = |x|의 그래프를 그려보죠.
x ≥ 0, y ≥ 0일 때, y = x
x ≥ 0, y < 0일 때, y = -x
x < 0, y ≥ 0일 때, y = -x
x < 0, y < 0일 때, y = x
|y| = |x| - 1의 그래프를 그려보죠.
x ≥ 0, y ≥ 0일 때, y = x - 1
x ≥ 0, y < 0일 때, y = -x + 1
x < 0, y ≥ 0일 때, y = -x - 1
x < 0, y < 0일 때, y = x + 1
(절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(x ≥ 0, y ≥ 0)인 y = x - 1의 그래프를 그리고 이걸 x축, y축, 원점에 대칭이동 시킨 모양이죠.
절댓값 기호를 포함한 식의 그래프 그리기
그래프를 두 가지 방법으로 표현합니다.
- 원래 그래프를 그린 다음 조건에 맞는 그래프를 찾고, 그 그래프를 x축 또는 y축에 대칭이동 시켰다.
- 원래 그래프를 그린 다음 조건에 맞지 않는 그래프를 찾고 그 그래프를 꺾어버렸다.
대부분은 대칭이동 했다는 표현을 많이 쓰는데, 일부 선생님이나 교재에서 꺾었다는 표현을 하기도 하니까 둘 다 알아두세요.
표현법에 따라 그래프를 그리는 방법이에요.
대칭이동을 이용한 그래프 그리기
- 절댓값 기호를 뺀 그래프를 그린다.
- (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간의 그래프를 찾는다.
- ②에서 찾은 그래프를 절댓값 기호가 없는 문자로 된 축 방향으로 대칭이동(x에 절댓값이 있으면 y축, y에 절댓값이 있으면 x축 방향으로 대칭이동)
꺾기를 이용한 그래프 그리기
- 절댓값 기호를 뺀 그래프를 그린다.
- (절댓값 기호 안) < 0이 되는 구간을 찾는다.
- ②에서 찾은 그래프가 양수가 되도록 절댓값 기호가 있는 문자 축 방향으로 그래프를 꺾는다.
절댓값 기호가 어디 있느냐에 따라서 그래프를 그리는 방법이 달라지죠? 어떻게 그리는지를 외우면 좋아요. 하지만 외워지지 않으면 외우지 마세요. 어설프고 헷갈리게 외우는 것보다는 외우지 않는 게 더 좋아요.
절댓값 기호 안이 0이 되게 하는 구간을 나눠서 식을 구하고 그래프를 그리더라도 시간이 오래 걸리지 않으니까 차근차근 그리는 것이 더 좋을 수 있어요.
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