신문 기사에 [취재파일] 세계적 수준 이르렀던 조선 시대 수학자들이라는 제목의 기사가 있어서 클릭해서 봤습니다. 그중에서 홍길주라는 분이 쓰신 숙수념이라는 책에 나오는 제곱근을 구하는 방법에 대한 소개가 있더군요.

나눗셈과 뺄셈만으로 제곱근을 구하는 방법인데, 실제로 해봤더니 정말 재미있어요. 그리고 정확하고요. 그래서 이 글을 보는 학생들도 실제로 해보면 재미있을 것 같아서 소개합니다.

숙수념에 나오는 제곱근 구하는 방법

방법은 아주 간단해요.

제곱근을 구하려고 하는 수를 2로 나눈 다음에 그 수에서 1부터 2, 3, 4의 오름차순으로 계속 빼주는 거예요. 그러다 더는 뺄 수 없을 때(음수가 나올 때) 앞에서 뺀 결과로 나온 수와 빼야 하는 수를 비교하는 거지요.

글로 써서 잘 이해가 안 될 수 있는데, 실제로 제곱근을 구해보면 쉽게 이해가 될 거예요.

36의 제곱근을 구해보죠.

  1. 36을 2로 나눈다. 36 ÷ 2 = 18
  2. 18에서 1을 뺀다. 18 - 1 = 17
  3. 17에서 2를 뺀다. 17 - 2 = 15
  4. 15에서 3을 뺀다. 15 - 3 = 12
  5. 12에서 4를 뺀다. 12 - 4 = 8
  6. 8에서 5를 뺀다. 8 - 5 = 3
  7. 3에서 6을 빼야 하지만 음수가 나오니까 멈춘다. 대신 3을 2배 한 것이 빼야 하는 수 6과 같으므로 36의 제곱근은 6이다.

제곱근이야 양수와 음수의 절댓값이 같고 부호만 다르니까 양의 제곱근이 6이면 음의 제곱근은 -6이죠?

다른 수를 한 번 해볼까요?

  1. 49를 2로 나눈다. 49 ÷ 2 = 24.5
  2. 24.5에서 1을 뺀다. 24.5 - 1 = 23.5
  3. 23.5에서 2를 뺀다. 23.5 - 2 = 21.5
  4. 21.5에서 3을 뺀다. 21.5 - 3 = 18.5
  5. 18.5에서 4를 뺀다. 18.5 - 4 = 14.5
  6. 14.5에서 5를 뺀다. 14.5 - 5 = 9.5
  7. 9.5에서 6을 뺀다. 9.5 - 6 = 3.5
  8. 3.5에서 7을 빼야 하지만 음수가 나오니까 멈춘다. 대신 3.5를 2배 한 것이 빼야 하는 수 7과 같으므로 49의 제곱근은 7이다.

어때요? 신기하죠?

36과 49는 제곱수니까 제곱수가 아닌 수의 제곱근을 구하는 방법을 알아보죠. 50의 제곱근을 구하는 과정이에요.

  1. 50을 2로 나눈다. 50 ÷ 2 = 25
  2. 25에서 1을 뺀다. 25 - 1 = 24
  3. 24에서 2를 뺀다. 24 - 2 = 22
  4. 22에서 3을 뺀다. 22 - 3 = 19
  5. 19에서 4를 뺀다. 19 - 4 = 15
  6. 15에서 5를 뺀다. 15 - 5 = 10
  7. 10에서 6을 뺀다. 10 - 6 = 4
  8. 4에서 7을 빼야 하지만 음수가 나오니까 멈춘다. 4를 2배 한 것과 빼야 하는 수 7이 같지 않으니까 이 방법으로는 50의 제곱근을 구할 수 없다.

이럴 때는 어떻게 하느냐면 50에 100을 곱한 5,000의 제곱근을 구하는 거예요.

  • 50에 100을 곱한다. 50 × 100 = 5000
  • 5000을 2로 나눈다. 5000 ÷ 2 = 2500
  • 2500에서 1을 뺀다. 2500 - 1 = 2499
  • 2499에서 2를 뺀다. 2499 - 2 = 2497
  • 2497에서 3을 뺀다. 2497 - 3 = 2494
  • 2494에서 4를 뺀다. 2494 - 4 = 2490
  • 85에서 70를 뺀다. 85 - 70 = 15
  • 15에서 71을 빼야 하지만 음수가 나오니까 멈춘다.

여기서도 마찬가지로 15의 2배인 30과 빼야 하는 수 71이 같지 않으므로 제곱근을 구할 수 없어요. 그렇다고 이 71을 그냥 무시할 수 없는 게 71이 5,000의 제곱근은 아니지만 그것과 비슷한 값이라는 걸 유추할 수 있어요. 실제로 5,000의 제곱근은 70.71이에요. 별로 차이가 안 나죠?

근데 왜 100을 곱해서 구할까요? 그건 제곱근의 근삿값, 제곱근표 보는 방법에서 제곱근표에 없는 제곱근의 근삿값을 구했던 것과 비슷해요. 제곱근표에 없는 제곱근의 근삿값을 구할 때 10의 짝수 거듭제곱과 제곱근표에 있는 근삿값을 이용해서 구했었죠? 바로 이와 같은 원리로 10의 거듭제곱인 100을 곱해서 제곱근을 구하는 거지요.

10의 거듭제곱인 100을 곱해서 5,000의 제곱근의 근삿값인 71을 얻었어요. 그럼 100을 곱한 5,000의 제곱근의 근삿값이니까 100으로 나눈 0.71이 50의 제곱근의 근삿값일까요? 그렇지는 않아요.

다음 식을 보세요. 50의 양의 제곱근을 x라고 해보죠.

x =
x2 = 50
100x2 = 5000          (∵ 양변 × 100)
(10x)2 ≒ (71)2
10x ≒ 71
x ≒ 7.1

어떤가요? 마지막에 나누는 수는 처음에 곱했던 100이 아니라 10이죠? 바로 제곱근을 구하는 거니까 100의 제곱근인 10으로 나눠주는 거예요. 이해가 되나요?

이 과정을 통해서 50의 제곱근은 약 7.1이라는 걸 알 수 있어요.

그럼 50에 100을 곱하지 않고 (10)4 = 10000을 곱해보죠. 같은 방법으로 500,000을 2로 나눈 다음 1부터 오름차순으로 빼보면 마지막에 429가 나오고 여기에서 707을 빼야 해요. 이 말은 707이 500,000의 제곱근의 근삿값이라는 얘기에요. 실제로 500,000의 제곱근의 근삿값은 707.106이에요.

x =
x2 = 50
10000x2 = 500000          (∵ 양변 × 10000)
(100x)2 ≒ (707)2
100x ≒ 707
x ≒ 7.07

50의 제곱근의 근삿값이 7.07이라는 걸 구했어요. 곱하는 숫자가 크니까 조금 더 자세히 구했죠?

이렇게 100, 10000, 1000000씩 곱해서 1부터 오름차순으로 빼고, 위 식처럼 근삿값을 구하다 보면 실제 50의 양의 제곱근의 근삿값인 7.0710을 구할 수 있어요.

단순히 나눗셈과 뺄셈만으로 제곱근 또는 제곱근의 근삿값을 구할 수 있다는 것도 재미있지만 그것도 18C 조선에서 고안해낸 독창적인 방법이라는 것도 재미있네요.

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