수학방

1 ~ 10번 문제 정답 및 풀이

11-① 12-④ 13-② 14-④ 15-③
16-① 17-② 18-② 19-③ 20-①

11번 문제

두 직선이 서로 수직이면 (기울기의 곱) = -1이에요. 문제에서 구하려고 하는 직선을 y = mx + n이라고 해보죠.

-1 × m = -1
m = 1

기울기가 1이고 (0, 5)를 지나는 직선이네요. y = x + n에 (0, 5)를 대입해보죠.

y = x + n
5 = 0 + n
n = 5

구하는 식은 y = x + 5이므로 답은 ①번입니다.

[공통수학 2] - 직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기
[공통수학 2] - 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직

12번 문제

원의 방정식이 (x - a)² + (y - b)² = r²일 때, 1사분면에서 x, y축에 접하면 반지름의 길이 r = 중심의 x좌표 a = 중심의 y좌표 b예요.

(x - r)² + (y - r)² = r²로 바꾸어 쓸 수 있어요.

r = a = b = 3이므로 대입해보면
(x - 3)² + (y - 3)² = 3²

답은 ④번입니다.

[공통수학 2] - 축에 접하는 원의 방정식

13번 문제

점과 도형을 y축에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x를 넣어주면 돼요. 나머지는 그대로 두고요.

(x, y) → (-x, y)
(-1, -4) → (1, -4)

답은 ②번입니다.

[공통수학 2] - 점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점

14번 문제

집합은 객관적이고 명확한 기준으로 분류될 수 있어야 해요. 누가봐도 똑같은 원소를 찾을 수 있어야 하니까요.

ㄱ, ㄷ에서 큰 수와 작은 넓이에 대한 명확한 기준이 없어요. 누군가는 100을 큰 수라고 할 수 있지만 또 누군가는 작다고 할 수 있잖아요. 넓이도 마찬가지고요.

ㄴ, ㄹ은 아주 명확한 기준이 있어서 모든 사람들이 똑같은 원소를 얘기할 수 있어요. ㄴ = {1, 2, 3, 4, ...}, ㄹ = {11, 13, 15, 17, 19}. 그래서 집합인 것은 ㄴ, ㄹ이에요.

답은 ④번입니다.

[공통수학 2] - 집합의 뜻

15번 문제

두 집합이 같으려면 서로가 서로에게 부분집합이어야 해요. 즉, 원소가 같아야 해요.

4는 양쪽 모두에 표시되어 있으니 제외하고, 2와 6은 같을 수 없죠.

2 = a - 3
a = 5

a + 1 = 6
a = 5

두 경우 모두에서 똑같이 a = 5가 나오네요. 답은 ③번입니다.

[공통수학 2] - 집합의 포함관계 - 부분집합

16번 문제

명제가 p → q일 때, 역은 가정과 결론을 바꾼 q → p예요.

명제 "x = 1이면 x⁴ = 1이다."에서 가정은 x = 1이고, 결론은 x⁴ = 1이에요.

가정과 결론은 바꾸면 x⁴ = 1이면 x = 1이다.

답은 ①번이네요.

[공통수학 2] - 명제의 역, 이, 대우, 삼단논법

17번 문제

역함수에서 f^-1(a) = x라고 하면 f(x) = a예요.

Y의 a에 연결되는 X의 원소는 2니까 x = f^-1(a) = 2죠.

답은 ②번입니다,

[공통수학 2] - 역함수, 역함수 구하는 방법

18번 문제

y = $\sqrt{x}$의 그래프를 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 평행이동한 그래프는 x대신 x - a, y대신 y - b를 대입하면 돼요.

y = $\sqrt{x}$
→ y - b = $\sqrt{x - a}$
y = $\sqrt{x - a}$ + b

y = $\sqrt{x - 3} + b$이므로 둘을 비교해보면, a = 3, b = 5라는 걸 알 수 있어요.

a + b = 3 + 5 = 8

답은 ②번입니다.

[공통수학 2] - 무리함수 2

19번 문제

서로 다른 n개에서 r개를 순서대로 고르는 걸 순열이라고 하고 _nP_r라고 써요.

그리고 n부터 1씩 줄여가면서 수를 곱하는 데, r개만큼 곱해서 그 값을 구해요.

5개 중에서 2개를 고르는 거니까 n = 5, r = 2죠. 5부터 1씩 줄여가면서 수를 곱하는데 2개만 곱하는 거니까
₅P₂ = 5 × 4 = 20

답은 ③번입니다.

[공통수학 1] - 순열이란

20번 문제

19번과 비슷한데, 차이가 있다면 19번은 순서대로 체험한다고 했어요. 순서가 있고 이게 중요해요.

20번은 그냥 고르기만 하고 순서는 상관없어요.

순서와 상관없이 서로 다른 n개에서 r개를 고르는 건 조합이라고 하고, _nC_r라고 써요.

_nC_r = (_nP_r) ÷ (r!)
= (n부터 1씩 줄여가며 r개의 곱) ÷ (1부터 r까지의 곱)

4종류에서 2종류를 선택하는 거니까, n = 4, r = 2죠.

₄C₂
= (₄P₂) ÷ (2!)
= (4 × 3) ÷ (2 × 1)
= 6

답은 ①번입니다.

[공통수학 1] - 조합이란

2025년도 2차시험 고졸학력 수학 문제

1-①2-④3-②4-①5-③
6-③7-②8-④9-②10-③

1번 문제

다항식을 문자에 대입해서 정리하는 문제예요.

A + B
= (2x² + 5) + (x² - 4x)
= 2x² + x² - 4x + 5
= 3x² - 4x + 5

답은 ①번입니다

[공통수학 1] - 다항식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈

2번 문제

항등식의 계수를 구하는 걸 미정계수법이라고 하죠?

양변이 내림차순으로 정리되어 있으니 동류항의 계수끼리 비교하는 계수비교법으로 풀어보죠.

ax² + x = 4x² + bx

이차항의 계수: a = 4
일차항의 계수: 1 = b

a - b = 4 - 1 = 3

답은 ④번입니다.

[공통수학 1] - 미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법

3번 문제

다항식을 직접 나눠도 되지만 나머지만 구하는 거니까 나머지정리를 이용하면 훨씬 편해요.

(나누는 식) = 0이 되게하는 x를 (나눠지는 식)의 x에 대입해서 나오는 값이 나머지입니다. x - 1로 나누니까 x = 1을 식에 대입하면 되겠네요.

f(x) = x³ - 2x² + 5 = (x - 1)Q(x) + R

f(1) = 1³ - 2 × 1² + 5
= 4

나머지는 4니까 답은 ②번이에요.

[공통수학 1] - 나머지정리, 인수정리

4번 문제

직접 인수분해를 해보면 답을 구할 수 있어요.

인수분해한 식이 세제곱식이고, 마지막 항이 -1이니까 (-b)³를 포함하는 식으로 인수부해하면 되겠네요.

인수분해 공식 중 아래 공식으로 해보죠.
a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³

x³ - 3x² + 3x - 1
= x³ - 3x² × 1 + 3x × 1² - 1³
= (x - 1)³

비교해보면 a = 1이니까 답은 ①이에요.

[공통수학 1] - 인수분해 공식

5번 문제

켤레복소수는 실수부분은 같고, 허수부분의 부호만 다른 복소수예요.

3 - 4i의 켤레보소수는 -4부분의 부호가 반대인 3 + 4i고요.

a = 3, b = 4이므로 a + b = 3 + 4 = 7입니다.

답은 ③번이네요.

[공통수학 1] - 켤레복소수와 켤레복소수의 성질

6번 문제

x² + 2x + 3 = 0의 근을 직접 구해서 풀어도 되지만 문제에서는 근의 성질을 이용해서 풀면 더 쉬워요.

① x = -4가 이 식의 근이라면 식에 대입했을 때 식이 성립해야 해요.

(-4)² + 2 × (-4) + 3
= 16 - 8 + 3
= 11
식이 성립하지 않으니 x = -4는 근이 아니에요.

② 두 근의 합은 근과 계수와의 관계를 이용해서 구할 수 있어요.

두 근의 합 = $-\frac{b}{a} = -\frac{2}{1}$ = -2로 ②번은 틀렸어요.

③ 두 근의 곱도 근과 계수와의 관계로 알 수 있어요.

두 근의 곱 = $\frac{c}{a} = \frac{3}{1}$ = 3으로 ③번은 맞네요.

④ 중근인지 아닌지는 판별식 D를 구해서 알아보죠.

D < 0이므로 중근이 아니라 허근을 가져요. ④번도 틀렸어요.

정답은 ③번입니다.

[공통수학 1] - 이차방정식의 판별식, 실근, 허근
[공통수학 1] - 이차방정식 근과 계수와의 관계

7번 문제

원래는 이차함수를 표준형으로 바꿔서 꼭짓점의 좌표를 구해야하는데, 그래프에서 꼭짓점이 (3, 6)으로 나와있으니 해보지 않아도 되겠네요.

범위가 제한된 이차함수의 최댓값과 최솟값은 꼭짓점이 범위 안에 있다면 양쪽 경계값과 꼭짓점에서의 함숫값 중 제일 큰 게 최댓값, 제일 작은 게 최솟값이에요.

문제에서 주어진 함수의 꼭짓점은 범위 안에 포함되어 있으니 이 값도 구해야 해요. 그런데 꼭짓점이 범위의 큰 값에 해당하네요.

그래프에서 그 값을 확인할 수 있어요.
f(1) = 2
f(3) = 6

최솟값은 x = 1일 때, y = 2입니다.

②번이네요.

[공통수학 1] - 이차함수의 최댓값과 최솟값

8번 문제

x와 y의 자리를 바꿔도 식이 똑같은 식을 대칭식이라고 하는데, 이 식이 대칭식이에요. 풀이법이 조금 까다로운데, 여기서는 다행히 어렵지 않게 풀 수 있도록 x를 알려줬어요.

x값을 알려줬으니 x = 3을 식에 대입해보죠.

3 + y = 5       (∵ x = 3)
y = 2

3 × 2 = a       (∵ x = 3, y = 2)
a = 6

a + b = 6 + 2 = 8

답은 ④번입니다.

[공통수학 1] - 연립이차방정식의 풀이 2 - 대칭식

9번 문제

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이예요. 절댓값 기호가 1개만 있으면 아래처럼 절댓값을 풀어요.

|ax + b| ≤ m (m > 0)
-m ≤ ax + b ≤ m

|x - 1| ≤ 4
-4 ≤ x - 1 ≤ 4

i) -4 ≤ x - 1
-3 ≤ x

ii) x - 1 ≤ 4

-3 ≤ x ≤ 5

수직선에 나타낸 해와 비교해보면 a = -3인 걸 알 수 있어요.

답은 ②이에요.

[공통수학 1] - 절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이

10번 문제

수직선에서 내분점을 구하는 문제네요.

두 점 A(x₁), B(x₂)를 m : n으로 내분하는 점의 좌표

답은 ③번입니다.

[공통수학 2] - 선분의 내분점

11-①12-④13-④14-①15-②
16-③17-④18-②19-③20-②

11번 문제

y = x의 그래프를 y축 방향으로 b만큼 평행이동하면 y = x + b가 돼요.

문제에서 y = x + 1이니까 y = x + b와 비교해보면 b = 1이란 걸 알 수 있어요.

즉, y = x + 1의 그래프는 y = x의 그래프를 y축 방향으로 1만큼 평행이동한 거예요.

답은 ①번 1입니다.

[중2 수학] - y = ax + b 그래프의 특징

12번 문제

$\overline{AB}=\overline{AC}$이므로 ▵ABC는 이등변삼각형이고, ∠A는 꼭지각이에요.

이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 대변을 수직이등분해요.

꼭지각 ∠A의 이등분선 $\overline{AD}$는 대변 $\overline{BC}$를 수직이등분하므로 $\overline{BD} = \overline{CD}$입니다.

$\overline{BC} = \overline{BD} \times 2 = 16(cm)$

답은 ①번이네요.

[중2 수학] - 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건

13번 문제

닮음인 도형에서 각 변의 비는 모든 대응변에서 같아요.

$\overline{AB} : \overline{DE} = \overline{BC} : \overline{EF}\\7 : 14 = 4 : \overline{EF}$$

$\overline{EF} = 8(cm)$

답은 ④번입니다.

[중2 수학] - 닮은 도형의 성질

14번 문제

상의를 입는 사건과 하의를 입는 사건은 별개의 사거으로 둘 다 모두 일어나야 해요.

두 사건이 모두 일어나야 하는 경우에는 경우의 수를 구해서 곱하는 곱의 법칙을 사용해야 합니다.

상의를 고르는 경우의 수는 3, 하의를 고르는 경우의 수는 2이므로 이 둘을 곱한 3 × 2 = 6 가지 경우의 수가 있어요.

답은 ①번이에요.

[중2 수학] - 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙

15번 문제

근호 안의 제곱인 수를 근호 밖으로 꺼내는 문제예요.

근호 안에 5² 부분이 있어서 근호 밖으로 나오는 거니까 5만 나오죠.

따라서 a = 5로 답은 ②예요.

[중3 수학] - 제곱근의 성질, 제곱수의 근호 풀기

16번 문제

식을 전개해서 계수를 비교해보죠.

(x + 2)(x + 3)
=x² + (2 + 3)x + 6
= x² + 5x + 6

전개한 x² + 5x + 6과 x² + mx + 6을 비교해보면 m = 5네요.

답은 ③번입니다.

[중3 수학] - 곱셈공식 1 - 완전제곱식
[중3 수학] - 곱셈공식 2 - 합차공식 외

17번 문제

이 그래프는 아래로 볼록이라서 ①번은 틀렸어요.

그래프가 지나는 점은 원점 (0, 0)과 (1, -1), (2, 0)이에요. (0, 1)은 지나지 않으니까 ②번도 틀렸어요.

꼭짓점의 좌표가 (1, -1)이므로 축의 방정식은 x = 1이에요. ③번도 틀렸어요.

꼭짓점의 좌표는 (1, -1)로 맞아요.

④번이 옳은 설명이라서 답이에요.

[중3 수학] - 이차함수 그래프의 특징

18번 문제

답은 ②번입니다.

[중3 수학] - 삼각비, sin, cos, tan

19번 문제

한 원에서 (중심각의 크기) = (원주각 크기) × 2예요.

원주각의 크기가 50° 이므로 중심각은 그 2배인 100°겠네요.

답은 ③번입니다.

[중3 수학] - 원주각과 중심각의 크기, 원주각의 성질

20번 문제

중앙값은 자료를 순서대로 배열했을 때 가장 가운데 있는 값을 말해요.

순서대로 써보죠.

3 4 5 7 8 9 15

총 7개의 자료이므로 4번째 있는 7이 한 가운데에 있는 값, 즉 중앙값이에요.

답은 ②번 7분입니다.

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1-③ 2-① 3-② 4-③ 5-④
6-③ 7-① 8-① 9-② 10-④

1번 문제

동그라미 쳐진 숫자가 소인수예요. 저 소인수들의 곱으로 나타내는데 같은 건 거듭제곱으로 나타내요.

2, 3, 3, 5이므로 2 × 3² × 5가 답이에요.

답은 ③번입니다.

[중1 수학] - 소인수분해

2번 문제

부호가 다른 두 정수의 덧셈문제네요. 부호가 다를 때는 절댓값이 큰 수의 부호에 두 수 절댓값의 차를 적으면 돼요.

(-5)가 절댓값이 크므로 부호는 (-)

두 수 절댓값의 차이는
|-5| - |+2|
= 5 - 2
= 3

결과는 -3으로 답은 ①번입니다.

[중1 수학] - 정수의 덧셈, 교환법칙, 결합법칙

3번 문제

300g 토끼 인형 1개의 무게: 300g × 1
300g 토끼 인형 2개의 무게: 300g × 2
300g 토끼 인형 3개의 무게: 300g × 3
300g 토끼 인형 x개의 무게: 300g × x

상자 전체의 무게 = 상자의 무게 + 토끼 인형의 무게
= 100g + (300 × x)g
= (300x + 100)g

답은 ②번입니다.

[중1 수학] - 문자와 식, 문자를 포함하는 식
[중1 수학] - 곱셈기호와 나눗셈 기호의 생략

4번 문제

일차방정식을 풀 때 순서예요.

1. 좌변에 미지수가 있는 항, 우변에 상수항이 오도록 이항
2. 각 변에서 동류항끼리 계산
3. 좌변 미지수의 계수로 양변을 나눈다.

순서에 맞게 풀어보죠.

3x - 1 = x + 7
3x - x = 7 + 1
2x = 8
x = 4

답은 ③번이네요.

[중1 수학] - 일차방정식의 풀이

5번 문제

점 A에서 x축, y축으로 선을 그어서 만나는 점의 숫자를 확인해보죠.

x축으로 선을 그으면 -2와 만나고, y축으로 선을 그으면 -3과 만나요.

따라서 좌표는 A(-2, -3)으로 ④번이 답입니다.

[중1 수학] - 순서쌍과 좌표평면

6번 문제

평행한 두 선분에서 동위각끼리, 엇각끼리 크기가 같아요.

∠x의 크기는 ∠x 동위각의 크기와 같아요. 이 ∠x의 동위각의 엇각이 45°네요.

∠x의 크기
= ∠x의 동위각의 크기
= ∠x의 동위각의 엇각의 크기
= 45°

답은 ③번이에요.

[중1 수학] - 평행선의 성질, 평행선에서의 동위각과 엇각

7번 문제

40분이상인 학생은 줄기의 4 그룹에 있는 잎의 수와 같아요. 잎 칸에 3, 6, 7로 세 개의 수가 있으니 3명입니다.

답은 ①번이에요.

[중1 수학] - 줄기와 잎 그림

8번 문제

좌변끼리 우변끼리 빼야해요. 좌변끼리 빼면 10x - x = 9x이므로 답은 ① 9입니다.

[중2 수학] - 순환소수를 분수로 나타내기

9번 문제

지수의 나눗셈문제네요.

지수의 나눗셈에서 밑이 같고,
(나눠지는 수의 지수) > (나누는 수의 지수)일 때,
지수 = (나눠지는 수의 지수) - (나누는 수의 지수)

7⁵ ÷ 7³
= 7^{5 - 3}
= 7²

답은 ②번 7²입니다.

[중2 수학] - 지수법칙 - 나눗셈, 분수, 괄호

10번 문제

연립방정식인데, 위의 식을 1식, 아래식을 2식이라고 해보죠.

1식이 한 문자에 대해서 정리되어 있으니 2식에 대입하는 게 쉽겠네요. 부호가 (-)인 점에 주의하세요.

3x - (2x) = 3
3x - 2x = 3
x = 3

x = 3을 1식에 대입해보죠.
y = 2 × 3
y = 6

답은 x = 3, y = 6로 ④번입니다.

[중2 수학] - 연립방정식의 풀이법 - 대입법

1 ~ 10번 풀이

11번 문제

점 (x₁, y₁)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리 공식은 다음과 같아요.

$$d = \frac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} $$

공식에 대입해보죠.

답은 ②번이네요.

[공통수학 2] - 점과 직선 사이의 거리

2번 문제

원과 직선이 만나지 않으려면 (원의 중심과 직선 사이의 거리) > (반지름 r)이어야 해요.

반지름이 3이므로 a가 3보다 크거나 -3보다 작으면 원과 직선은 만나지 않아요.

a < -3 or a > 3인데, 이를 만족하는 5보다 작은 자연수는 4밖에 없어요.

답은 ④번 입니다.

[공통수학 2] - 원과 직선의 위치관계

13번 문제

도형의 방정식 f(x, y) = 0를 x축에 대하여 대칭이동하면 다른 건 다 그대로 두고 y만 -y로 바꿔줘야 해요.

f(x, y) = 0 → f(x, -y) = 0

(x - 2)² + {(-y) - 1}² = 1
(x - 2)² + {-(y + 1)}² = 1
(x - 2)² + (y + 1)² = 1

답은 ③번 이네요.

[공통수학 2] - 점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점

14번 문제

A ∩ B = {3, 5} → n(A ∩ B) = 2
A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9} → n(A ∪ B) = 7

n(A ∩ B) + n(A ∪ B)
= 2 + 7 = 9

답은 ④번입니다.

[공통수학 2] - 교집합과 합집합
[공통수학 2] - 유한집합의 원소의 개수

15번 문제

P = {3}이므로 3 ∈ Q여야 해요.

x² - ax - 3 = 0
3² - a × 3 - 3 = 0     (∴ x = 3 대입)
9 - 3a - 3 = 0
3a = 6
a = 2

답은 ②번 2입니다.

[공통수학 2] - 필요조건, 충분조건, 필요충분조건

16번 문제

합성함수는 뒤에 있는 함수부터 앞으로 차례로 계산해 나가면 돼요.

(g ∘ f)(1)
= g(f(1))
= g(3 × 1 - 1)
= g(2)
= -2 × 2 + 5
= 1

답은 ③번이에요.

[공통수학 2] - 합성함수

17번 문제

f^-1(4)에서 f^-1는 f의 역함수를 말해요. 그러니까 방향이 반대인 Y에서 X로의 함수예요 Y → X

(4)는 공역(또는 치역) Y의 원소 4를 뜻하고요.

그러니까 f^-1(4) 공역 4와 화살표로 연결되지만 방향이 반대인 정의역 X의 원소를 찾는 문제죠.

Y의 4와 연결되는 X의 원소는 1이네요.

답은 ①번입니다.

[공통수학 2] - 역함수, 역함수 구하는 방법

18번 문제

$y = \frac{k}{x}$의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프는 $y - q = \frac{k}{x - p}$예요.

문제의 식 $y = \frac{1}{x + a} + 2$에서, p = -a, q = 2인데, 설명에 x축 방향으로 1만큼, y축 방향으로 b만큼이라고 했네요.

-a = 1 → a = -1
2 = b

a - b = -1 - 2 = -3

답은 ①번 입니다.

[공통수학 2] - 유리함수 2 - 분수함수

19번 문제

3의 배수는 3, 6, 9가 가능해요. 각각의 경우를 순서쌍으로 나타내보죠.

3일 때: (1, 2) - 경우의 수 1
6일 때: (1, 5), (2, 4) - 경우의 수 2
9일 때: ((4, 5) - 경우의 수 1

각각의 경우는 동시에 일어나지 않는 사건이므로 합의 법칙을 이용하면 경우의 수는 1 + 2 + 1 = 4니까 답은 ②번입니다.

[중2 수학] - 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙
[공통수학 1] - 합의 법칙, 곱의 법칙

20번 문제

5가지 중에서 4개를 순서없이 선택하는 경우니까 조합이에요.

답은 ②번 5입니다.

[공통수학 1] - 조합이란

고졸 검정고시 시험문제 다운로드

1번 문제

간단하게 대입해서 계수를 비교하면 답을 얻을 수 있어요. 문자 자리에 수가 아니라 식을 넣는 것만 다를 뿐 중학교 때 해봤던 수의 대입과 다를 게 없습니다.

A + B
= (2x² + 3x) + (ax² + x)
= (2x² + ax²) + (3x + x)
= (2 + a)x² + 4x = bx

2 + a = 0 → a = -2
4 = b

a + b = (-2) + 4 = 2

답은 ③번입니다.

[공통수학 1] - 다항식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈

2번 문제

한 다항식 f(x)가 다른 다항식 (x - α)로 나누어떨어질 때, 몫을 Q(x)라고 하면 아래처럼 나타낼 수 있어요.

f(x) = (x - α)Q(x)

이 때 (나누는 식) = 0이 되게 하는 x = α를 양변에 대입하면 f(α) = 0이 되죠.

f(x) = x³ + ax² - 4라 하고 나누는 식 x - 1 = 0이 되게 하는 x = 1을 양변에 대입해보죠.

f(1) = 1³ + a × 1² - 4 = 0
a - 3 = 0
a = 3

답은 ①번 이네요.

[공통수학 1] - 나머지정리, 인수정리

3번 문제

인수분해 공식 중에 a³ + b³ = (a + b)(x² - ab + b²)인 공식이 있어요.

a = x, b = 2라고 하면 x³ + 8 = (x + 2)(x² - 2x + 4)로 인수분해 되죠.

a = -2이므로 답은 ①번입니다.

[공통수학 1] - 곱셈공식

4번 문제

복소수 z에 대하여 켤레복소수 $\bar{z}$는 z의 허수부분의 부호를 반대로 바꾼 수예요. z = a + bi → $\bar{z}$ = a - bi

z + $\bar{z}$
= (a + bi) + (a - bi)
= 2a

2a = 6이므로 a = 3, 답은 ③번입니다.

[공통수학 1] - 켤레복소수와 켤레복소수의 성질

5번 문제

이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식 D > 0이어야 해요.

D = b² - 4ac > 0
a² - 4 × 1 × 4 > 0
a² - 16 > 0
(a + 4)(a - 4) > 0

a < -4 or a > 4

a의 범위는 위와 같은데, 문제에서는 가장 작은 자연수를 구하라고 했어요. a > 4이므로 a가 될 수 있는 가장 작은 자연수는 ②번 5입니다.

[공통수학 1] - 이차방정식의 판별식, 실근, 허근
[공통수학 1] - 이차부등식, 이차부등식의 해

6번 문제

이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근을 α, β라고 할 때, 근과 계수 사이에는 특별한 관계가 있어요.

$$\frac{c}{a} = \alpha \beta$$

공식에서는 a가 이차항의 계수인데, 문제에서는 상수항이네요.

답은 ①번 입니다.

[공통수학 1] - 이차방정식 근과 계수와의 관계

7번 문제

범위가 주어진 이차함수는 양쪽 경곗값 또는 꼭짓점에서 최댓값과 최솟값을 가져요. 특히 함수가 아래로 볼록이고, 꼭짓점이 주어진 범위 안에 있으면 꼭짓점에서의 y값이 최솟값이에요.

꼭짓점의 좌표가 (1, 2)이고 주어진 범위 안에 있으니까 2가 최솟값입니다.

답은 ④번이네요.

[공통수학 1] - 이차함수의 최댓값과 최솟값

8번 문제

연립이차방정식의 해는 연립된 모든 방정식을 만족하는 해예요. 이건 연립이차방정식뿐 아니라 모든 연립방정식에서 마찬가지예요. 따라서 주어진 해를 원래 식에 대입하면 식이 성립하니까 계수를 알 수 있어요.

첫 번째 식에 첫번째 해 x = 2, y = b를 대입해보죠.

x - 2y = 0
2 - 2 × b = 0
2b = 2
b = 1

두 번째 식에 두 해 중 아무거나 대입해보죠. x = -2, y = -1을 대입해볼까요?

(-2)² + 2 × (-1)² = a
4 + 2 = a
a = 6

a + b = 6 + 1 = 7

답은 ④번입니다.

[공통수학 1] - 연립이차방정식의 풀이 1
[공통수학 1] - 연립이차방정식의 풀이 2 - 대칭식

9번 문제

이차부등식의 해는 그 모양에 따라서 해를 구하는 방법이 있어요.

a > 0, α > β일 때
a(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
a(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β

문제에서는 a = 1 > 0이고, 좌변의 식이 우변의 0보다 크므로 두 번째 줄에 있는 형태네요.

(x - 1)(x - 3) > 0
→ x < 1 or x > 3

답은 ④번입니다.

[공통수학 1] - 이차부등식, 이차부등식의 해

10번 문제

좌표평면에서 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)을 m : n으로 내분하는 점의 좌표 공식은 아래와 같아요.

$$\left( \frac{mx_{2} + nx_{1}}{m + n}, \frac{my_{2} + ny_{1}}{m + n}\right)$$

x 좌표부터 구해보죠.

y 좌표도 구해보죠.

답은 ①번 (0, 3)이네요.

[공통수학 2] - 선분의 내분점과 외분점
[공통수학 2] - 좌표평면 위의 내분점과 외분점

로그함수 y = log_ax(a > 0, a ≠ 1)는 a > 1이면 증가함수, 0 < a < 1이면 감소함수예요. 정의역이 양의 실수 전체의 집합이면 최솟값은 0에 한없이 가까워지고, 최댓값은 그 끝을 알 수 없어요.

따라서 최대, 최소를 구한다는 건 정의역이 제한된 범위를 갖는다는 뜻이에요.

지수함수의 최대, 최소와 마찬가지로 양쪽 경계에서 최댓값 또는 최솟값을 갖죠.

a > 1일 때는 로그함수가 증가함수라서 x가 증가하면 y도 증가하므로 양쪽 경계 중 작은 값에서 최솟값, 큰 값에서 최댓값을 가져요.

0 < a < 1일 때는 로그함수가 감소함수라서 x가 증가하면 y는 감소하므로 양쪽 경계 중 작은 값에서 최댓값, 큰 값에서 최솟값을 가져요.

정의역이 {x|m ≤ x ≤ n}일 때, y = log_ax(a > 0, a ≠ 1)은

• a > 1일 때, x = m에서 최솟값 y = log_am, x = n일 때 최댓값 y = log_an
• 0 < a < 1일 때, x = m에서 최댓값 y = log_am, x = n일 때 최솟값 y = log_an

다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
(1) y = log₃(x + 4) - 2       (-3 ≥ x ≥ 5)
(2) y = log${}_{\frac{1}{2}}$(x - 2) + 1       (4 ≥ x ≥ 10)

(1) 밑이 3으로 1보다 크니까 증가함수예요. 경계 중 작은 값에서 최솟값을 갖고, 큰 값에서 최댓값을 가져요.

y = log₃(x + 4) - 2

x = -3일 때, 최솟값
log₃(-3 + 4) - 2
= log₃1 – 2
= 0 – 2
= -2

x = 5일 때, 최댓값
log₃(5 + 4) - 2
= log₃9 – 2
= log₃3² – 2
= 2 – 2
= 0

(2) 밑이 $\frac{1}{2}$로 0보다 크고 1보다 작으니까 감소함수예요. 경계 중 작은 값에서 최댓값을 갖고, 큰 값에서 최솟값을 가져요.

y = log${}_{\frac{1}{2}}$(x - 2) + 1

x = 10일 때, 최솟값
log${}_{\frac{1}{2}}$(10 - 2) + 1
= log${}_{\frac{1}{2}}$8 + 1
= log${}_{2^{-1}}$2³ + 1
= -3 + 1
= -2

검정고시 기출문제 풀이를 모아놓은 글입니다.

검정고시는 어려운 문제보다 개념을 잘 이해하고 공식만 외워도 풀 수 있는 문제가 많이 나오니 어렵다고 생각하지 마세요.

문제마다 풀이에 사용한 개념과 공식에 대한 설명이 있는 글의 링크를 적어놓았으니 함께 공부하시면 많은 도움이 될 거라고 생각합니다.

각 회차별로 10문제씩 2개의 게시글로 나누어 작성하였으며, 1번 ~ 10번 게시글 상단에 기출문제를 내려 받을 수 있는 링크가 있습니다.

2025년 검정고시 기출문제

1. 제1회
   • 중졸       문제 내려받기, 풀이 1번 ~ 10번, 풀이 11번 ~ 20번
   • 고졸       문제 내려받기, 풀이 1번 ~ 10번, 풀이 11번 ~ 20번
2. 제2회
   • 중졸       문제 내려받기, 풀이 1번 ~ 10번, 풀이 11번 ~ 20번
   • 고졸       문제 내려받기, 풀이 1번 ~ 10번, 풀이 11번 ~ 20번

로그함수를 이용해서 수의 대소를 비교할 수 있어요.

로그함수 y = log_ax(a > 0, a ≠ 1)는 다음과 같은 성질이 있어요.

• a > 1일 때 증가함수. x가 증가하면 y도 증가. x₁ < x₂이면, y₁ < y₂
• 0 < a < 1일 때 감소함수. x가 증가하면 y는 감소. x₁ < x₂이면, y₁ > y₂

그래프를 생각하면 쉬워요.

a > 1일 때, 진수 x가 크면 함숫값 y도 커요.

0 < a < 1일 때, 진수 x가 크면 함숫값 y는 작아요.

대소를 비교할 두 수를 밑이 같은 로그 꼴로 나타내요. 그 다음 밑이 1보다 큰지 작은지를 보고, 진수의 크기를 비교해서 두 수 중 어느 수가 더 큰지를 알 수 있어요.

다음 두 수의 대소를 비교하여라.
(1) 4, log₂8         (2) log${}_{\frac{1}{2}}$5, 3log${}_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$

(1)

4 → 4log₂2 = log₂2⁴ = log₂16

log₂8

진수를 비교해보죠. 16 > 8로 16이 더 커요.

밑이 2로 1보다 크니까 x가 증가하면 y도 증가해요. a > 1일 때, x₁ < x₂이면, y₁ < y₂

진수가 크면 수가 더 크니까 4 > log₂8이에요.

(2)

log${}_{\frac{1}{2}}$5

3log${}_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$ = log${}_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}^{3}$

진수를 비교해보죠. 5 > $\sqrt{3}^{3}$으로 $\sqrt{3}^{3}$이 더 커요.

밑이 $\frac{1}{2}$로 1보다 작으니까 x가 증가하면 y는 감소해요. 0 < a < 1일 때, x₁ < x₂이면, y₁ > y₂

진수가 크면 수가 더 작으니까 log${}_{\frac{1}{2}}$5 > 3log${}_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$이에요.

검정고시 기출문제 풀이 (2025년 제1회 중졸 수학) 1 ~ 10

11번 문제

y = ax + 4의 그래프인데, 두 점 (-2, 0), (0, 4)를 지나요. 두 점중 아무 거나 1개를 식에 대입하면 a를 구할 수 있어요.

(-2, 0)을 대입해보죠.

0 = a × (-2) + 4
-2a + 4 = 0
2a = 4
a = 2

다른 방법으로, 두 점의 좌표를 직접 이용해서 기울기 a를 구할 수도 있어요.

답은 ① 2입니다.

[중2 수학] - 일차함수의 그래프- 기울기
[중2 수학] - 일차함수식 구하기, 직선의 방정식 구하기

12번 문제

이등변삼각형의 밑각의 크기는 서로 같아요. 따라서 ∠B = ∠C예요.

삼각형 내각의 크기의 합은 180°인데, ∠A = 80°이므로 ∠B = ∠C = 50°예요.

삼각형 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각 크기의 합과 같아요. x = ∠A + ∠B

x = ∠A + ∠B
x = 80° + 50°
x = 130°

답은 ①번입니다.

[중1 수학] - 삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합
[중2 수학] - 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건

13번 문제

그림과 같은 삼각형에서 $\overline{AD} : \overline{DB} = \overline{AE} : \overline{EC}$의 관계까 성립해요.

6 : 3 = 8 : x
6x = 24
x = 4

답은 ④번입니다.

[중2 수학] - 삼각형에서 평행선과 길이의 비 2

14번 문제

5의 배수인 공은 5, 10으로 2개 있어요.

공을 꺼낼 수 있는 전체 경우의 수는 10이고, 5의 배수인 공을 꺼내는 경우의 수는 2예요.

답은 ①번이네요.

[중2 수학] - 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙
[중2 수학] - 확률이란, 확률 공식

15번 문제

근호 앞의 수는 근호 안으로 넣을 수 있죠? 그 때 제곱해서 들어가요.

$2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 × 5} = \sqrt{20}$이므로 답은 ③번입니다.

[중3 수학] - 제곱근의 뜻과 표현
[중3 수학] - 제곱근의 성질, 제곱수의 근호 풀기

16번 문제

인수분해해서 풀어보죠.

x² - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1 or 2

근은 1 또는 2인데, 문제에서 1이 아닌 다른 근을 구하라고 했으니 답은 ①번 2입니다.

[중3 수학] - 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이

17번 문제

이차함수 y = ax² + q꼴의 그래프는 y = ax²의 그래프를 y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프예요.

이차항의 계수의 부호가 양수면 그래프는 아래로 볼록이고 이건 평행이동 해도 바뀌지 않아요. 문제에서 이차항의 계수는 양수 1이므로 아래로 볼록이죠. ①은 틀렸네요.

점의 좌표를 대입해서 식이 성립하는지 보면 돼요. (1, 4)를 대입해보면 식이 성립하지 않아요. 즉, 이 함수는 (1, 4)를 지나지 않아요. ②도 틀렸어요.

축은 x = 0이에요. ③도 틀렸어요.

y = ax² 그래프의 꼭짓점은 (0, 0)인데, y축 방향으로 2만큼 평행이동했으므로 꼭짓점은 (0, 2)예요. ④번은 맞아요.

문제는 옳은 설명을 찾는 것이므로 ④번이 답이에요.

[중3 수학] - 이차함수 그래프의 - y = ax²
[중3 수학] - 이차함수 그래프의 평행이동 - y = ax² + q

18번 문제

직각의 대변을 빗변, 기준각의 대변을 높이, 직각과 기준각 사이의 변을 밑변이라고 해보죠.

$$sinB = \frac{높이}{빗변} = \frac{15}{17}$$

답은 ③번입니다.

[중3 수학] - 삼각비, sin, cos, tan

19번 문제

원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선은 서로 길이가 같아요. $\overline{PA} = \overline{PB}$

▵PAB가 이등변삼각형이므로 밑각의 크기가 같아요. ∠A = ∠B = 60°

그런데 이 두 각의 크기가 60°이고, 삼각형 내각 크기의 합은 180°이므로 ∠P = 60°죠.

세 각의 크기가 모두 60°이므로 ▵PAB는 정삼각형이므로 $\overline{AB}$ = 5cm입니다.

답은 ①번이네요.

[중1 수학] - 삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합
[중2 수학] - 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건
[중3 수학] - 원과 접선, 접선의 길이

20번 문제

표준편차는 산포도의 한 종류예요. 산포도는 자료가 얼마나 흩어져 있느냐를 수로 나타낸 거죠.

표준편차를 직접 구해서 비교해 볼 수 도 있지만, 보기에 있는 숫자들은 굳이 직접 구해보지 않아도 흩어진 정도를 파악할 수 있어요.

①은 모든 자료가 1로 똑같으니 흩어져 있지 않아요.

②, ③은 각 자료가 서로 같거나 차이가 1밖에 나지 않아요.

④번은 자료가 서로 같거나 2 차이나죠? 따라서 가장 많이 흩어져 있으므로 답은 ④입니다.

[중3 수학] - 산포도와 편차

지수함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)는 a > 1이면 증가함수, 0 < a < 1이면 감소함수예요. 정의역이 실수 전체의 집합이면 최솟값은 0에 한없이 가까워지고, 최댓값은 그 끝을 알 수 없어요.

따라서 최대, 최소를 구한다는 건 정의역이 제한된 범위를 갖는다는 뜻이에요.

제한된 범위에서 함수의 최대, 최소를 구하는 건 1학년 때, 이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대최소에서 해본 적이 있죠? 양쪽 경계나 꼭짓점에서 최댓값 또는 최솟값을 가져요.

지수함수는 꼭짓점이 없으니 양쪽 경계에서 최댓값 또는 최솟값을 갖죠.

2025년 중졸 검정고시 수학 문제 풀이와 해설입니다. 문제 풀이 바로 아래에 링크된 글에 개념과 공식이 설명되어 있으니 참고해주세요.

기출문제 다운로드

1번 문제

소인수분해가 이미 돼 있어요.

수를 나눌 때 사용한 소수와 마지막에 남은 소수까지 모두 곱해줘야 하는데, 친절하게(?) 동그라미 표시까지 되어 있네요

같은 수가 있으면 거듭제곱으로 나타내야 해요.

3 × 3 × 5 = 3² × 5

답은 ③번입니다.

[중1 수학] - 거듭제곱
[중1 수학] - 소인수분해

2번 문제

일단 부호가 없는 정수(자연수)는 부호를 살려주면 더 쉬워요. 6은 부호가 없는 자연수니까 (+6)으로 써주죠.

그럼 부호가 다른 두 정수의 덧셈인데, 부호가 다를 때는 절댓값이 더 큰 수의 부호를 따르고, 수는 두 수의 절댓값의 차를 써요.

+6의 절댓값이 더 크니까 부호는 +고, 절댓값의 차는 2이므로 답은 +2인데, (+)는 생략할 수 있으니까 그냥 2로 써도 돼요.

②번 2가 답이에요.

[중1 수학] - 정수의 덧셈과 뺄셈의 혼합계산
[중1 수학] - 정수의 덧셈, 교환법칙, 결합법칙

3번 문제

슈퍼에서 2,000원짜리 물건을 3개 사면 얼만가요?
2000 × 3 = 6000(원)

슈퍼에서 2,000원짜리 물건을 4개 사면요?
2000 × 4 = 8000(원)

여기서 3개 샀을 때 3을 곱해주고, 4개를 사면 4를 곱해주니까 a개(송이)를 사면 a를 곱해주면 돼요.

2000 × a = (2000 × a)원

답은 ③번입니다.

[중1 수학] - 문자와 식, 문자를 포함하는 식

4번 문제

일차방정식을 푸는 순서예요.

1. 좌변에 미지수가 있는 항, 우변에 상수항이 오도록 이항
2. 양변을 동류항 정리
3. 좌변 미지수의 계수로 양변을 나눠줌

순서대로 해보죠

2x - 3 = 5
2x = 5 + 3
2x = 8
x = 8 ÷ 2
x = 4

답은 ②번이네요.

[중1 수학] - 일차방정식의 풀이

5번 문제

가로축이 시간, 세로축이 이동거리예요.

가로축 10분에서 세로로 쭉 올라가면 그래프와 만나는 점이 있는데, 여기서 왼쪽으로 쭉 가면 2가 나와요. 10분일 때 출발지점에서 2km 갔다는 뜻이에요.

같은 방법으로 가로축 25분에서 세로로 쭉 올라가면 그래프와 만나는 점이 있는데, 여기서 왼쪽으로 쭉 가면 4가 나와요. 25분일 때 출발지점에서 4km 갔다는 뜻이에요.

두 지점 차이가 2km네요. 답은 ①번입니다.

[중1 수학] - 그래프의 뜻과 표현

6번 문제

한 원에서 부채꼴의 넓이는 부채꼴의 중심각 크기에 비례해요.

비례식을 세워서 풀어보죠.

60° : 3cm² = x° : 5cm²
3x = 300
x = 100

답은 ②번 100°입니다.

[중1 수학] - 원주율, 원의 둘레, 원의 넓이, 부채꼴의 둘레, 부채꼴의 넓이

7번 문제

상대도수의 총합은 무조건 1이에요. 표에서도 합계가 1이라고 나왔어요.

각 계급의 상대도수를 모두 더해서 1이 나오게 식을 세워보죠.

0.1 + a + 0.3 = 1
a = 0.6

다른 방법도 있어요.

도수(여기서는 학생 수)와 상대도수는 계급끼리 서로 비례해요.

학생 수가 2명일 때 상대도수가 0.1이라면 학생 수가 6배인 12명일 때 상대도수도 6배인 0.6이에요.

답은 ②번 0.6입니다.

[중1 수학] - 상대도수와 상대도수의 분포표

8번 문제

순한소수를 유리수로 나타내는 공식이 있죠?

분자는 (소수점을 고려하지 않은 전체 수) - (소수점을 고려하지 않은 순환마디 바로 앞 수)고, 분자는 소수점 이하 수 중 순환마디의 개수만큼 9를 쓰고, 순환마디가 아닌 수의 개수만큼 0을 붙여요.

분자는 소수점을 고려하지 않은 전체 수는 8이고, 순환마디 앞의 수는 0이므로 8 - 0 =8

분모는 순환마디가 1자리이므로 9는 1개, 순환하지 않는 수는 없으므로 0을 붙이지 않아요. 9

$$\frac{8-0}{9} = \frac{8}{9}$$

답은 ④번입니다.

[중2 수학] - 순환소수를 분수로 나타내기

9번 문제

밑이 같은 다항식의 곱셈과 나눗셈은 지수법칙을 이용해서 간단히 정리할 수 있어요.

곱하기는 지수끼리의 합으로, 나누기는 지수의 차를 이용해요.

앞에서부터 순서대로 하나씩 해도 계산되고, 한꺼번에 계산해도 돼요.

a² × a⁷ ÷ a³
= a^{2 + 7 - 3}
= a⁶

답은 ③번 a⁶이네요.

[중2 수학] - 지수법칙 - 곱셈, 거듭제곱
[중2 수학] - 지수법칙 - 나눗셈, 분수, 괄호

10번 문제

연립방정식은 가감법, 대입법을 이용해서 풀 수 있어요.

두 식 y 계수의 절댓값이 같으므로 가감법으로 풀어보죠. 위의 식을 ①식, 아래식을 ②식이라고 할게요.

1식 - 2식
(x - y) - (2x - y) = 1 - 3
x - y - 2x + y = -2
-x = -2
x = 2

x = 2를 1식에 대입해보죠.
2 - y = 1
y = 2 - 1
y = 1

대입법으로 풀어도 답은 똑같아요.

답은 ②번 x = 2, y = 1이네요.

[중2 수학] - 연립방정식의 풀이법 - 가감법 첫번째
[중2 수학] - 연립방정식의 풀이법 - 대입법

지수함수와 지수함수의 그래프를 이용해서 수의 대소를 비교할 수 있어요.

지수함수 y = ax(a > 0, a ≠ 1)는 다음과 같은 성질이 있어요.

• a > 1일 때 증가함수. x가 증가하면 y도 증가. x₁ < x₂이면, y₁ < y₂
• 0 < a < 1일 때 감소함수. x가 증가하면 y는 감소. x₁ < x₂이면, y₁ > y₂

그래프를 생각하면 쉬워요.

a > 1일 때, 지수 x가 크면 함숫값 y도 커요.

0 < a < 1일 때, 지수 x가 크면 함숫값 y는 작아요.

대소를 비교할 두 수를 밑이 같은 지수 꼴로 나타내요. 그 다음 밑이 1보다 큰지 작은지를 보고, 지수의 크기를 비교해서 두 수 중 어느 수가 더 큰지를 알 수 있어요.

다음 두 수의 대소를 비교하여라.
(1) 2⁴, $8^{\frac{6}{5}}$
(2) $\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$, $\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{8}{9}}$

(1)

2⁴

지수를 비교해보죠. 4 > $\frac{18}{5}$로 4가 더 커요

밑이 2로 1보다 크니까 x가 증가하면 y도 증가해요. a > 1일 때, x₁ < x₂이면, y₁ < y₂

지수가 크면 수가 더 크니까 2⁴ > $8^{\frac{6}{5}}$이에요.

(2)

지수를 비교해보죠. 2 < $\frac{8}{3}$로 $\frac{8}{3}$이 더 커요.

밑이 로 1보다 작으니까 x가 증가하면 y는 감소해요. 0 < a < 1일 때, x₁ < x₂이면, y₁ > y₂

지수가 크면 수가 더 작으니까 $\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$ > $\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{8}{9}}$ 이에요.

수열의 귀납적 정의는 첫째 항과 "앞의 항 → 다음 항"의 관계를 알려줘요. a₁을 알면 a₂를 구할 수 있고, a₂를 알면 a₃를 구할 수 있어요.

"첫 단추를 잘 못 끼우다." 이런 표현 있죠? 처음 시작이 잘 못 되어 그 뒤로도 계속 잘못된 상태가 된다는 뜻이잖아요. 반대로 생각해서 첫 단추를 잘 끼우면 두 번째 단추도 잘 끼울 수 있고, 두 번째 단추를 잘 끼우면 세 번째 단추도 잘 끼울 수 있어요.

수학적 귀납법은 이와 비슷해요. "앞 단계 → 다음 단계"로 이어지는 구조를 이용해서 명제가 참임을 증명해요.

첫 번째일 때 명제가 성립해요. 그리고 어떤 하나가 성립하면 연속된 그 다음도 성립한다고 해보죠.

첫 번째가 성립하면 그 다음인 두 번째도 성립하겠죠? 두 번째가 성립하니까 그 다음인 세 번째도 성립해요. 세 번째가 성립하니까 그 다음인 네 번째도 성립하고, … 이렇게 계속하면 결국 모두 다 성립하는 걸 알 수 있어요.

수학적 귀납법으로 어떤 명제가 모든 자연수에서 성립함을 보이려면 딱 두 단계만 거치면 돼요.

수학적 귀납법
1. 기초 단계: n = 1일 때 성립 확인
2. 귀납 단계: n = k일 때 성립한다고 가정하고, n = k + 1에서도 성립함을 증명

이 두 단계를 거치면, 모든 자연수에 대해 참이라는 결론을 얻을 수 있어요.

다음 수열을 보죠.

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + 2

첫째항이 1이고 공차가 2인 등차수열로 일반항이 a_n = 2n - 1이에요.

수열의 일반항이 a_n = 2n - 1이 맞는지 수학적 귀납법으로 증명해 볼까요?

1. 기초 단계: n = 1일 때

a_n = 2n - 1
    = 2 × 1 - 1 (∵ n = 1 대입)
    = 1
    = a₁

n = 1일 때, 식이 성립해요.

2. 귀납 단계: 어떤 자연수 k에 대하여 n = k일 때 a_k = 2k - 1성립하면, n = k + 1일 때도 식이 성립하는지 알아보죠.

a_k = 2k - 1
a_k + 2 = 2k - 1 + 2       (∵ 양변 + 공차 2)
a_{k + 1} = 2k + 1         (∵ a_{n + 1} = a_n + 2)
a_{k + 1} = 2(k + 1) - 1

a_n = 2n - 1에 n = k + 1을 대입한 것과 같으므로 n = k + 1일 때도 a_n = 2n - 1이 성립해요.

n = 1일 때, a_n = 2n - 1이 성립해요.
n = 1일 때 성립하니까 n = 2일 때도 성립해요.
n = 2일 때 성립하니까 n = 3일 때도 성립해요.
n = 3일 때 성립하니까 n = 4일 때도 성립해요.
…

따라서 모든 자연수 n에 대하여 a_n = 2n - 1이 성립함을 알 수 있어요.

모든 자연수 n에 대하여 다음 등식이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하여라.
(1) 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = $\frac{n(1+n)}{2}$
(2) 1² + 2² + 3² + 4² + … + n² = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

등차수열의 합과 여러 가지 수열의 합에서 봤던 공식이에요.

(1)

1. n = 1일 때, 등식이 성립하는지 확인해보죠.

(좌변) = 1

(우변) = $\frac{1(1+n)}{2}$ = $\frac{1(1 + 1)}{2}$ = 1

(좌변) = (우변)이므로 n = 1일 때 등식이 성립해요.

2. n = k일 때 등식이 성립하면 n = k + 1일 때도 성립하는지 확인해보죠.

1 + 2 + 3 + 4 + … + k
    = $\frac{k(1+k)}{2}$
1 + 2 + 3 + 4 + … + k + (k + 1)
    = $\frac{k(1+k)}{2}$ + (k + 1)         (∵ 양변 + (k + 1))
1 + 2 + 3 + 4 + … + k + (k + 1)
    = $\frac{1}{2}$(k + 1)(k + 2)
1 + 2 + 3 + 4 + … + k + (k + 1)
    = $\frac{1}{2}$(k + 1){1 + (k + 1)}

n = k + 1을 등식에 대입한 것과 같으므로 n = k + 1일 때도 등식이 성립해요.

따라서 이 등식은 모든 자연수 n에 대하여 성립해요.

(2)

1. n = 1일 때, 등식이 성립하는지 확인해보죠.

(좌변) = 1

(우변) = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ = $\frac{1(1+1)(2 × 1 + 1)}{6}$ = 1

(좌변) = (우변)이므로 n = 1일 때 등식이 성립해요.

2. n = k일 때 등식이 성립하면 n = k + 1일 때도 성립하는지 확인해보죠.

1² + 2² + 3² + 4² + … + k²
    = $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ + (k + 1)²
     (∵ 양변 + (k + 1)²)
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{1}{6}$(k + 1){k(2k + 1) + 6(k + 1)}
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{1}{6}$(k + 1)(2k² + 7k + 6)
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{1}{6}$(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{1}{6}$(k + 1){(k + 1) + 1}{2(k + 1) + 1}

n = k + 1을 등식에 대입한 것과 같으므로 n = k + 1일 때도 등식이 성립해요.

따라서 이 등식은 모든 자연수 n에 대하여 성립해요.

모든 자연수 n이 아니라 m(m ≥ 2)보다 크거나 같은 자연수 n에 대하여 성립하는지를 증명할 때는 1. 기초단계에서 n = 1일 때가 아니라 n = m일 때로만 바꾸고 나머지는 똑같이 증명하면 돼요.

n ≥ 5인 자연수 n에 대하여 부등식 2ⁿ ≥ n²이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하여라.

1. n = 5일 때,

2⁵ = 32 ≥ 5² = 25

(좌변) ≥ (우변)이므로 n = 5일 때 부등식이 성립해요.

2. n = k (k ≥ 5)일 때 부등식이 성립하면 n = k + 1일 때도 성립하는지 확인해보죠.

2^k ≥ k²
2^k × 2 ≥ k² × 2         (∵ 양변 × 2)
2^k ≥ 2k²

2k² - (k + 1)²
= 2k² - k² - 2k - 1
= k² - 2k - 1
= (k - 2k + 1 - 1) - 1
= (k - 1)² - 2

k ≥ 5일 때, (k - 1)² - 2 ≥ 0이므로 2k² ≥ (k + 1)²

2^{k + 1} ≥ 2k² ≥ (k + 1)² → 2^{k + 1} ≥ (k + 1)²

n = k + 1을 부등식에 대입한 것과 같으므로 n = k + 1일 때도 부등식이 성립해요.

따라서 이 부등식은 n ≥ 5인 자연수에 대하여 성립해요.

수열의 귀납적 정의에 대해서 공부할 건데, 먼저 귀납이 무슨 뜻인지 부터 알아보죠.

귀납(歸納)에서 귀(歸)는 돌아올 귀인데, 돌아오다, 돌아가다의 뜻이에요. 밖에 나갔다가 집으로 돌아오는 걸 귀가라고 하고, 외국에 있다가 한국에 다시 들어오는 걸 귀국이라고 하죠?

납(納)은 들일 납인데, 들이다, 바치다, 받아들이다의 뜻이에요. 세금을 내는 걸 납세라고 하고, 은행 창구에서 돈을 받는 걸 수납이라고 하죠?

정리하면, 귀납은 “돌아가게 해서 받아들인다. → 개별적 사실들을 모아 받아들여 일반적 결론으로 돌아간다.”는 뜻으로 이해하면 돼요.

수열의 명시적 정의, 귀납적 정의

수열을 정의하는 방법에는 두 가지가 있어요.

첫 번째 방법은 a_n = 2n + 1처럼 a_n을 n에 대한 공식으로 직접 나타내는 방법으로 명시적 정의라고 해요. 이제까지 우리가 공부했던 방법이에요.

두 번째 방법은 반복되는 규칙을 관계식으로 나타내는 방법으로 귀납적 정의라고 해요. 처음 몇 개의 항과 이웃하는 항들과의 관계식을 이용해요.

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + 2이라고 해보죠.

첫 번째 항은 1이에요. a₁ = 1이라서 첫 번째 항은 1이에요. a_{n + 1} = a_n + 2이니까다음 항은 바로 앞항보다 2만큼 큰 관계가 있어요. 결과적으로 이 수열은 첫째항이 1이고, 공차 2인 등차수열이에요.

a₁ = 2, a_{n + 1} = 3a_n일 때, a₁ = 2라서 첫째항이 2고 a_{n + 1} = 3a_n이니까 다음 항은 바로 앞항의 3배인 관계가 있어요. 즉, 첫째항이 2고 공비가 3인 등비수열이죠.

여기서 a_{n + 1} = a_n + 2와 a_{n + 1} = 3a_n처럼 이웃하는 항들 사이의 관계를 나타내는 식을 점화식이라고 해요.

등차수열과 등비수열의 귀납적 정의

등차수열, 등차수열의 일반항에서 첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열은 a_n = a + (n - 1)d라고 했죠? 같은 등차수열을 귀납적으로 정의하면 수열 {a_n}이 첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열일 때, a₁ = a, a_{n + 1} = a_n + d (n = 1, 2, 3, …)이라고 정의해요.

등차수열을 첫째항 a와 이웃하는 항(n항, n + 1항) 사이의 관계식으로 정의했잖아요.

등비수열, 등비수열의 일반항, 등비중항에서 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열은 a_n = ar^{n - 1}이었어요. 같은 등비수열을 귀납적으로 정의하면 수열 {a_n}이 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열일 때, a₁ = a, a_{n + 1} = ra_n (n = 1, 2, 3, …)이라고 정의해요.

등비수열도 등차수열과 마찬가지로 첫째항과 이웃하는 항 사이의 관계식을 이용했어요.

여러 가지 점화식

이웃하는 항들 사이의 관계를 나타내는 식(점화식)을 보면 이 수열이 등차수열인지 등비수열인지 알 수 있어요.

(1) a_{n + 1} = a_n + d → a_{n + 1} - a_n = d(일정) → 공차가 d인 등차수열
(2) a_{n + 1} = raⁿ → a_{n + 1} ÷ a_n = r(일정) → 공비가 r인 등비수열
(3) a_{n + 1} - a_n = a_{n + 2} - a_{n + 1} → 2a_{n + 1} = a_n + a_{n + 2} → 등차수열
(4) a_{n + 1} ÷ a_n = a_{n + 2} ÷ a_{n + 1} → (a_{n + 1})² = a_n × a_{n + 2} → 등비수열

다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 {a_n}의 일반항을 구하시오. (단, n = 1, 2, 3, …)
(1) a₁ = 3, a₂ = 6, a_{n + 1} = a_n + 3
(2) a₁ = 3, a₂ = 6, (a_{n + 1})² = a_n × a_{n + 2}

(1) a₁ = 3이고, a_{n + 1} = a_n + 3이므로 이 수열은 첫째항이 3이고, 공차가 3인 등차수열이에요.

첫째항이 a, 등차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요. 공식에 넣어보죠.

a_n = 3 + (n - 1)3 = 3n

(2) a₁ = 3, (a_{n + 1})² = a_n × a_{n + 2}이므로 이 수열은 첫째항이 3인 등비수열이에요.

공비를 구해야겠네요.

r = $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

첫째항이 a, 등비가 r인 등비수열의 일반항은 a_n = ar^{n - 1}이에요. 공식에 넣어보죠.

a_n = 3 × 2^{n - 1}