완전 쉽게 이해하는 실수인 거듭제곱근

복소수 단원, 이차방정식의 근의 공식을 이용해서 구한 해가 복소수일 때를 제외하고는 허수, 복소수를 다루지 않아요. 그래서 모든 단원에서 실수만 사용할 수 있게 일부 제한을 합니다.

거듭제곱근 단원에서도 마찬가지로 실수만 나오도록 수의 크기와 부호를 제한하는데 그 내용을 공부할 거예요.

n이 짝수일 때, 실수인 거듭제곱근

중3 때 제곱근의 뜻과 표현에서 제곱근을 공부했는데요. 이때 제곱근 안의 수가 음수인 경우는 생각하지 않는다고 했어요. 음수면 허수가 되니까요.

x² = a일 때

• a > 0이면, x = $\pm\sqrt{a}$
• a = 0이면, x = 0
• a < 0이면, 생각하지 않는다.

제곱근은 거듭제곱근 중에서 n = 2인 경우니까 이걸 거듭제곱근 전체로 확장해서 생각하면 돼요.

제곱근은 n = 2일 때인데, 거듭제곱근에서 n이 짝수일 때로 확장하면 완전히 똑같아요.

xⁿ = a이고, n이 짝수일 때

• a > 0이면, x = $\pm\sqrt[n]{a}$ : 양수, 음수 각 1개씩
• a = 0이면, x = 0 : 1개
• a < 0이면, 생각하지 않는다. : 실수 아님.

n이 홀수일 때, 실수인 거듭제곱근

n이 짝수일 때를 해봤으니까 n이홀수일 때만 추가하면 되겠죠?

x³ = 1일 때가 n이 홀수일 때의 대표적인 경우죠?

이거 어디서 봤나요? 바로 삼차방정식 허근 ω의 성질에서 본 거예요. 실근 1개와 허근 2개 있었는데, 실근이 나오는 부분만 떼서 확장하면 거듭제곱근에서 n이 홀수일 때가 돼요.

x³ = 1의 실근은 x = 1 이었는데, 이걸 거듭제곱근에 맞게 표현하면 x = $\sqrt[3]{1}$로 쓸 수 있어요.

그럼 xⁿ = a는 x = $\sqrt[n]{a}$로 쓸 수 있는 거죠.

여기서는 a > 0일 때로, 실근이 1개만 있는데, a와 부호가 같은 양수 실근이에요.

a = 0일 때를 볼까요?

0을 몇 번 곱하든 그 값은 0이에요. 반대로 똑같은 수를 곱했을 때 0이 나오는 건 0을 곱했을 때 뿐이라 xⁿ = 0은 x = 0이에요. 이것도 역시 기호로 표현하면 x = $\sqrt[n]{a}$으로 나타낼 수 있어요.

a < 0일 때는 x³ = -1일 때를 보죠. 역시 삼차방정식 허근 ω의 성질에 확인할 수 있어요. 여기서도 마찬가지로 실근은 1개만 있어요.

x³ = -1 : x = -1

xⁿ = a : x = $\sqrt[n]{a}$

xⁿ = a이고, n이 홀수일 때

• a > 0이면, x = $\sqrt[n]{a}$ : 1개
• a = 0이면, x = $\sqrt[n]{a}$ = 0 : 1개
• a < 0이면, x = $\sqrt[n]{a}$ : 1개

한 가지 중요한 건 a가 양수일 때도 음수일 때도 똑같이 $\sqrt[n]{a}$인데, 앞에 부호가 없죠? 하지만 문자 자체가 부호를 포함하고 있어요.

a > 0이면 x = $\sqrt[n]{a}$ > 0이고, a < 0이면 x = $\sqrt[n]{a}$ < 0이에요. x³ = -1에서 x = -1로 음수잖아요. 이것만 주의하세요.

정리

x³ = a는 n이 짝수인지 홀수인지, a가 양수인지 0인지 음수인지에 따라 총 6가지 경우의 수가 생겨요.

이 중 n이 짝수고 a < 0일 때는 실수인 거듭제곱근이 없어요. 다른 5가지 경우는 모두 실수인 거듭제곱근이 있어요.

표로 정리해보죠.

xⁿ = a일 때 실수인 거듭제곱근

	a > 0	a = 0	a < 0
n이 짝수	$\pm\sqrt[n]{a}$	0	없다.
n이 홀수	$\sqrt[n]{a}$

거듭제곱근의 뜻

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거듭제곱근의 근호풀기