삼차방정식 중에서 특이한 형태의 삼차방정식 하나를 더 공부할 거예요. x3 = 1인데요. 그냥 보면 x = 1이라는 실근이 하나보이죠? x = 1 말고 허근이 더 있는데, 이 허근을 오메가(ω)라고 해요. 그런데 이 ω가 재밌는 성질이 있어요. 그래서 이 글에서는 오메가의 성질에 대해서 알아볼 거예요.
오메가 (ω)의 성질을 외울 수 있으면 외우면 좋아요. 너무 헷갈려서 외우기 어렵다면 성질을 유도할 수 있어야 해요. ω2이 정확하게 무슨 값인지는 몰라도 "ω2이 특정한 값을 갖고 있다"는 사실은 기억하고 있어야 한다는 얘기죠. 성질의 정확한 값을 모르더라도 성질이 있다없다 정도만 기억하고 있다가 문제에 맞게 유도할 수 있을 정도는 되어야 합니다.
x3 = 1 허근 오메가(ω)의 성질
삼차방정식 x3 = 1의 해를 구해보죠.
x3 = 1
x3 - 1 = 0
(x - 1)(x2 + x + 1) = 0
x = 1 or
인수분해 공식 a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)을 이용해서 인수분해 했고, 근의 공식을 이용해서 근을 구했어요.
허근 
일단 ω와 
또, x2 + x + 1의 두 근이기도 하므로 ω2 + ω + 1 = 0, 
또 위 성질들을 합쳐서 다음 성질도 유도해 낼 수 있어요.
| x3 = 1의 한 허근 ω | 켤레근 |
|---|---|
| ω3 = 1 | = 1 |
| ω2 + ω + 1 = 0 | |
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x3 = 1의 한 허근을 ω라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) ω2013 + ω2014 + ω2015 + … + ω2019
(2)
x3 = 1
x3 - 1 =0
(x - 1)(x2 + x + 1) = 0
ω3 = 1, ω2 + ω + 1 = 0,
(1) ω2013 + ω2014 + ω2015 + … + ω2019
= ω2013(1 + ω + ω2) + ω2016(1 + ω + ω2) + ω2019
= (ω3)671(1 + ω + ω2) + (ω3)672(1 + ω + ω2) + (ω3)673
= 1 × 0 + 1 × 0 + 1 (∵ ω3 = 1, ω2 + ω + 1 = 0)
= 1
x3 = -1 허근 오메가(ω)의 성질
삼차방정식 x3 = -1에서도 비슷한 성질을 알 수 있어요. 둘을 헷갈리지 마세요.
x3 = -1
x3 + 1 = 0
(x + 1)(x2 - x + 1) = 0
x = -1 or
한 허근
x3 = 1에서와 같은 방법을 이용하면 아래의 성질을 유도할 수 있어요.
| x3 = -1의 한 허근 ω | 켤레근 |
|---|---|
| ω3 = -1 | = -1 |
| ω2 - ω + 1 = 0 |  |
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항등원과 역원, 연산법칙
댓글쓰고백점맞게해주세요
댓글 썼으니 백점 받을 거예요. ㅎㅎ
노란박스 바로 위에 쓰신 글에서요
" 또 위 성질들을 합쳐서 다음이 성질도 유도해 낼 수 있어요."
다음의
다음이...ㅎㅎ
ㅇㄴ.....
정말감사해요ㅎㅎ
고2되서맘잡고공부하려는데...
1학년때내용을몰라서정말고민많이했었는데
많은도움이될꺼같아요
아직 업로드가 끝나지 않았지만 조만간 1학년 내용이 완료될 것 같아요. 그 때까지 같이해요.
정말감사합니다!! 쏙쏙 머리에 들어오네요
머리에 들어온 게 다시는 나가지 않도록 반복해서 정리하세요.
ω+(오메가바)=-1
ω(오메가바)=1 >>이부분..이해가안되요 왜그런거죠?
근과계수의 관계에서 두근의 합은 이차방정식 ax²+bx+c=0에서 -a/b 이렇게 계산하는거아닌가요..?
파란글씨도 읽어봤어요..
ㅇ어떻게이해하면되는건가요..?쉽게설명부탁드려요..ㅠㅠ
오메가와 오메가바가 x^2 + x + 1 = 0의 두 근이잖아요. 그러니까 근과 계수와의 관계에 의해서 두 근의 합, 두 근의 곱을 구할 수 있죠.
두 근의 합 = 오메가 + 오메가바 = -b/a = -1
두 근의 곱 = 오메가 x 오메가바 = c/a = 1
이차방정식ax²+bx+c=0일때
두근을 알파,베타라고 가정할때
알파베타의합은 -b/a곱은c/a
이런식으로 이해하면되는거죠?
아..뭔말인지몰라서 한참보다가생각났네요..ㅠㅠ
한가지만 더물어볼게요..ㅜ
ω²=1/ω 이성질이 성립하는이유는 양변에 ω를 곱하면ω³=1이되기때문이다>이렇게이해하는거맞죠?
그런데 ω²=(오메가바)>이부분이 이해가안되요!ㅠㅠ
자세한설명좀부탁드려요..
아니요. 거꾸로 이해했네요.
오메가는 x^3 = 1의 근이에요. 그러니까 (오메가)^3 = 1이 성립하죠. 이 식의 양변을 오메가로 나눠주면 (오메가)^2 = 1/(오메가)가 돼요.
그런에 위에서 오메가 x 오메가바 = 1이므로 1/오메가 = 오메가바가 되죠. 따라서 오메가^2 = 오메가바가 되고요.
오메가가 너무 헷갈렸었는데 쉽게 이해가 되었어요! 항상 감사합니다:)
응용문제가 자주 나오니까 앞으로는 헷갈리지 말고 꼭 기억해두세요.
감사합니다!
네, 댓글 고마워요.
(오메가)^2013+(오메가)^2014+(오메가)^2015+...+(오메가)^2019
=(오메가)^2013×(1+(오메가)+(오메가)^2)+...+(오메가)^2019
이 부분이 이해가 안가네요.
어떻게 (오메가)^2013×(1+(오메가)+(오메가)^2)+...+(오메가)^2019
로 바꿀 수 있었나요?
그냥 (오메가)^2013으로 묶은 거(인수분해)뿐이에요.
항상 좋은정보 얻어갑니다만 궁금한점이 있는데요,
X³=-1 이고 한 허근을 오메가라고 할 때,
오메가^5+오메가⁴+오메가³+오메가²+오메가+1 이 문제에서
-(오메가²+오메가+1)+오메가²+오메가+1 이렇게 나오는데
오메가²+오메가+1=0 을 어디서 구하나요?
오메가²-오메가+1=0 은 구해지는데..ㅠㅜ
값 구할 필요없이 바로 계산하면 되잖아요. -(...) + (...) 니까 0이네요.
오메가를 까먹어서 찾다가 들어오게 외었는데 자세한 설명 감사합니다
이제는 잊어버리지 마세요.
한줄한줄 정성껏 쓰셨네요 그 정성만큼이나 공부 잘 되네요
쑤1님의 공부가 잘되서 저도 좋아요. 칭찬 받아서 더 좋고요. ㅎㅎ
친절한 설명에 감탄하고 갑니다!
또 오세요.!!
감사합니다~잘보고가요!!새해복많이받으세요, 늦었지만 히히^^
아직 안 늦었어요. 새해 복 많이 받을 게요. ㅎㅎ
다른 글도 보러 또 오세요.
사랑해요...정말 설명 잘되있구ㅠㅜㅠㅜ혼자서 공부하기 딱 좋게ㅜㅠ아무튼 사랑해요...총총
혼자아니고 저랑 같이 하는 거예요. ㅎㅎ
x^3 = 8 일 때,
(x-2)(x^2+2x+4) = 0 으로 인수분해 했을 경우에는
x = 2 또는 x = -1 + 루트3i 또는 x = -1 - 루트3i 이 되고,
허수근 하나를 오메가로 놓고, 다른 허수근을 오메가바로 놓으면
w = -1 + 루트3i 로 했을 때 (오메가바) = -1 - 3i 가 되고
오메가 제곱 = -2 -2루트3i 로 오메가 제곱 = (오메가바) 가 안되는 돼요??
x^3 = 1 or -1일 때의 내용이에요.
오! 이런 인재는 제가 지원드려야되겠군요!
오메가3 하고 브랜드 이름만 알았는데 새로운 걸 아네요!
부자아닙니다 죄송해요
와우!
우와!
쓰앵님 다 알겠는데 오메가가 증말루 어렵네요 수능볼라는데 이거 몰라도 되나요
수능에 나올지 안나올지는 아무도 모르죠.
대체 왜 이런 공식이 나온지 궁금했는데 친절히 알려줘서 이마 탁 치고 갑니다 증말로 동서남북 다 절 받으세요...
상하좌우로도 절 받을 거예요.