이차방정식 근과 계수와의 관계에서는 이차방정식의 두 근의 합과 곱, 계수 사이의 재밌는 관계를 공부했었죠?

삼차방정식에도 세 근의 합과 곱, 계수 사이의 재미있는 관계를 공부할 거예요. 이 관계를 알면 삼차방정식만 보고 세 근의 합과 곱을 구할 수 있어요. 또, 합과 곱이 포함된 여러 가지 응용된 식의 값도 구할 수 있고요.

삼차방정식의 근과 계수와의 관계는 세 근의 합과 곱, 곱셈공식이 섞여서 나오니까 곱셈공식을 다 외우고 있어야 풀 수 있어요. 곱셈공식을 얼른 보고 오세요.

삼차방정식 근과 계수와의 관계

이차방정식은 보통 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)으로 쓰죠? 삼차방정식은 보통 ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)으로 써요. 또 이차방정식의 두 근은 α, β라고 하고, 삼차방정식의 세 근은 α, β, γ라고 해요.

이차항의 계수가 a이고 α, β를 근으로 하는 이차방정식은 a(x - α)(x - β) = 0으로 쓰죠? 그럼 삼차항의 계수가 a이고 세 근이 α, β, γ인 삼차방정식은 어떻게 쓸까요? a(x - α)(x -  β)(x - γ) = 0으로 써요.

곱셈공식 중에 다음과 같은 공식이 있었어요. 이 곱셈공식을 이용해서 전개해보죠.

(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc

a(x - α)(x -  β)(x - γ) = 0
a{x3 - (α + β + γ)x2 + (αβ + βγ + γα)x - αβγ} = 0
ax3 - a(α + β + γ)x2 + a(αβ + βγ + γα)x - aαβγ = 0

이 전개식과 ax3 + bx2 + cx + d = 0을 비교하면 삼차방정식의 세 근과 계수와의 관계를 알 수 있어요.

b = - a(α + β + γ)  →  α + β + γ = 삼차방정식 근과 계수와의 관계 - 세 근의 합
c = a(αβ + βγ + γα)  →  αβ + βγ + γα = 삼차방정식 근과 계수와의 관계 - 두 개씩 곱한 것들의 합
d = - aαβγ  →  αβγ = 삼차방정식 근과 계수와의 관계 - 세 근의 곱

삼차방정식 근과 계수와의 관계
ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)의 세 근을 α, β, γ라고 할 때
α + β + γ = 삼차방정식 근과 계수와의 관계 - 세 근의 합
αβ + βγ + γα = 삼차방정식 근과 계수와의 관계 - 두 개씩 곱한 것들의 합
αβγ = 삼차방정식 근과 계수와의 관계 - 세 근의 곱

삼차방정식 2x3 - 4x2 + 6x - 8 = 0의 세 근을 α, β, γ라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β + γ
(2) αβ + βγ + γα
(3) αβγ
(4) 삼차방정식 근과 계수와의 관계 예제
(5) α2 + β2 + γ2
(6) α3 + β3 + γ3

근과 계수와의 관계에 이용해서 풀어야 해요. 특히 (5), (6)번은 곱셈공식곱셈공식의 변형까지 이용해야 하고요.

(1) α + β + γ = 삼차방정식 근과 계수와의 관계 예제 풀이 1 - 세 근의 합

(2) αβ + βγ + γα = 삼차방정식 근과 계수와의 관계 예제 풀이 2 - 두 개씩 곱한 것들의 합

(3) αβγ = 삼차방정식 근과 계수와의 관계 예제 풀이 3 - 세 근의 곱

삼차방정식 근과 계수와의 관계 예제 풀이 4

(5) 곱셈공식 중에 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ba + ca) 공식이 있었어요.

(α + β + γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2(αβ + βγ + γα)
22 = α2 + β2 + γ2 + 2 × 3
α2 + β2 + γ2 = -2

(6)번은 곱셈공식의 변형 중에서 a3 + b3 + c3 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc를 이용해요.
α3 + β3 + γ3
= (α + β + γ)(α2 + β2 + γ2 - αβ - βγ - γα) + 3αβγ
= (α + β + γ){α2 + β2 + γ2 - (αβ + βγ + γα)} + 3αβγ
= 2 × (-2 - 3) + 3 × 4
= 2

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정리해볼까요

삼차방정식 근과 계수와의 관계

  • ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)의 세 근을 α, β, γ라고 할 때
  • α + β + γ = 삼차방정식 근과 계수와의 관계 - 세 근의 합
  • αβ + βγ + γα = 삼차방정식 근과 계수와의 관계 - 두 개씩 곱한 것들의 합
  • αβγ = 삼차방정식 근과 계수와의 관계 - 세 근의 곱
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