이 글에서 공부할 상반방정식은 고차방정식 중에서도 어려운 방정식이에요. 상반방정식의 풀이법은 굉장히 길고 복잡해요. 하지만 앞에서 공부했던 여러 가지 방정식의 풀이법을 잘 이해하고 있다면 풀 수는 있으니까 너무 두려워할 필요는 없어요

상반방정식의 풀이에서 중요한 건 곱셈공식의 변형과 치환 두 가지에요. 곱셈공식의 변형과 치환은 이 단원뿐 아니라 아주 많이 사용되므로 연습을 많이 하면 할수록 좋으니까 자주 연습을 해두세요.

지금부터 상반방정식의 풀이를 해볼 텐데, 과정이 어렵고 복잡하니까 주의해서 잘 보세요.

상반방정식

방정식은 일단 x에 대해 내림차순으로 정리해요. 그래야 최고차항도 파악하기 쉽고 풀이도 쉬우니까요.

방정식을 내림차순으로 정리했을 때, ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0됐다고 해보죠. 계수만 보면 a, b, c, b, a로 c를 중심으로 좌우대칭이에요. 이처럼 한 계수를 중심으로 다른 계수가 좌우대칭인 방정식을 상반방정식이라고 해요. ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0처럼 계수를 포함해서 좌우대칭인 경우도 상반방정식이에요.

보통은 5차와 4차 방정식을 다루니까 위처럼 나타냈어요.

이런 상반방정식은 다른 고차방정식과 풀이법이 약간 달라요. 곱셈공식의 변형에서 봤던 분수꼴의 곱셈공식과 고차방정식의 풀이 - 치환을 이용해서 풉니다.

최고차항의 차수가 짝수일 때

x4 + 3x3 + 2x2 + 3x + 1 = 0을 보죠. 계수가 1, 3, 2, 3, 1로 2를 중심으로 해서 좌우대칭이죠?

  1. 일단 x = 0은 방정식의 해가 아니므로 이 방정식에서 x ≠ 0이에요. 따라서 양변을 대칭의 기준이 되는 x2으로 나눌 수 있죠? 양변을 x2으로 나눠보죠.
  2. 항의 자리를 한 번 바꿔보죠.
  3. 자리를 바꿨더니 앞의 두 항은 곱셈공식의 변형에서 봤던 분수꼴의 곱셈공식으로 묶을 수 있고, 세 번째, 네 번째 항은 3으로 묶을 수 있죠?
  4. 이제 x + = t로 치환해보죠.
    t2 - 2 + 3t + 2 = 0
    t2 + 3t = 0
    t(t + 3) = 0
  5. t = x + 이므로 다시 대입해보면
    (x + )(x +  + 3) = 0
  6. x + = 0, x +  + 3 = 0 에서 x의 값을 구해야 합니다.

    x + = 0의 양변에 x를 곱해보죠.
    x2 + 1 = 0
    x = ±i

     x +  + 3 = 0의 양변에 x를 곱해보죠.
    x2 + 1 + 3x = 0
    x2 + 3x + 1 = 0

결국 답은 x = ±i or 입니다.

되게 복잡해 보이는데요. 핵심은 대칭의 기준이 되는 x2으로 나누는 것과 x + = t로 치환하는 거예요.

  1. 상반방정식의 양변을 대칭의 기준이 되는 x2으로 나눈다.
  2. 항의 위치를 바꾼다.
  3. 분수꼴의 곱셈공식을 이용해서 항을 묶는다.
  4. x + = t로 치환하여 인수분해
  5. t = x + 로 원래 값 대입
  6. 양변에 x를 곱하여 x를 구한다.

최고차항의 차수가 홀수일 때

최고차항의 차수가 홀수면 짝수일 때보다 딱 한 단계만 더 거쳐요. 최고차항의 차수를 하나 낮추는 과정이요. 차수를 하나 낮추면 나머지는 최고차항의 차수가 짝수인 상반방정식의 풀이와 완전히 같으니까 위 과정을 잘 이해해두세요.

최고차항의 차수가 홀수인 상반방정식은 x = -1을 무조건 근으로 가져요.
f(x) = ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a이라고 하면
f(-1) = -a + b - c + c - b + a = 0

x5 - 7x4 + x3 + x2 - 7x + 1 = 0을 풀어보죠.

x = -1이 근이면 (x + 1)을 인수로 가지니까 조립제법으로 한 번 나눠요.
상반방정식의 풀이 - 조립제법
(x + 1)(x4 - 8x3 + 9x2 - 8x + 1) = 0이 되죠.

뒤에 있는 식이 최고차항이 짝수인 상반방정식이네요. 이 이후에는 위에서 했던 과정을 그대로 반복해서 풀면 돼요.

상반방정식의 풀이 1

상반방정식의 풀이 2

상반방정식의 풀이 3

상반방정식의 풀이 보기문제 답

최고차항의 차수가 홀수인 상반방정식의 풀이
주어진 식을 (x + 1)로 조립제법
이후에는 최고차항의 차수가 짝수인 상반방정식의 풀이 순서대로

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삼차방정식 근과 계수와의 관계

정리해볼까요

상반방정식: 내림차순으로 정리했을 때 계수가 좌우대칭인 방정식

  1. 최고차항의 차수가 홀수이면 준식을 (x + 1)로 조립제법. 최고차항의 차수가 짝수이면 통과
  2. 상반방정식의 양변을 x2으로 나눈다.
  3. 항의 위치를 바꾼다.
  4. 분수꼴의 곱셈공식을 이용해서 항을 묶는다.
  5. x + = t로 치환하여 인수분해
  6. t = x + 로 원래 값 대입
  7. 양변에 x를 곱하여 x를 구한다.
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