고차방정식의 풀이

이차방정식을 풀 때는 인수분해를 해서 근을 구하거나 근의 공식을 이용해서 근을 구해요. 둘 중 하나를 선택할 수 있어요. 하지만 삼차이상의 고차방정식에서는 일단 무조건 인수분해를 해야 해요. 따라서 고차방정식의 풀이에서는 인수분해를 잘하는 것이 중요해요.

고차방정식을 인수분해하는 방법은 다항식을 인수분해하는 방법과 같아요. 앞에서 공부했던 인수분해 방법들에 대해서 복습하는 차원이라고 생각하세요.

고차방정식 중에서 치환을 이용해서 푸는 문제와 복이차식의 풀이법을 공부해보죠.

이 글에서 공부할 건 복잡한 식의 인수분해 - 치환, 복이차식에서 했던 내용이에요. 고차방정식을 인수분해하고, 이후에 근을 구하는 과정만 추가된 것뿐입니다.

고차방정식의 풀이 - 치환

치환은 식의 특정한 부분을 다른 문자나 식으로 바뀌어 계산하고, 계산이 끝난 이후에는 원래의 식으로 되돌려주는 걸 말하죠.

치환할 때는 대부분 공통으로 들어있는 부분이나 괄호로 쳐진 부분이 있어서 눈에 금방 띄어요. 눈에 금방 띄지 않는다면 인수분해나 전개를 해서 치환할 부분을 찾아야 해요.

공통부분이 없을 때는 서로 다른 부분을 치환하기도 합니다.

공통부분이 있으면 바로 치환
공통부분이 없으면 전개 or 변형해서 치환

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) (x² - 4x)² + 7x² - 28x + 12 = 0
(2) (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 3

(1)번은 공통인 부분이 눈에 띄지 않죠? 하지만 괄호로 쳐진 부분이 있어요. 그곳을 잘 이용하면 인수분해할 수 있어요.
(x² - 4x)² + 7x² - 28x + 12 = 0
(x² - 4x)² + 7(x² - 4x) + 12 = 0
t² + 7t + 12 = 0 (∵ x² - 4x = t로 치환)
(t + 3)(t + 4) = 0
(x² - 4x + 3)(x² - 4x + 4) = 0 (∵ t = x² - 4x)
(x - 1)(x - 3)(x - 2)² = 0
x = 1 or 3 or 2(중근)

(2)번 같은 문제는 곱셈공식, 곱셈공식 유도에서 봤는데, 상수항이 가장 작은 것과 가장 큰 것을 묶고, 나머지 두 개를 묶어서 따로 전개해서 푸는 거라고 했어요.

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 3
(x - 1)(x - 4)(x - 2)(x - 3) = 3     (∵두 개씩 짝짓기)
(x² - 5x + 4)(x² - 5x + 6) = 3      (∵ 각각을 전개)
(t + 4)(t + 6) = 3                         (∵ x² - 5x = t로 치환)
t² +10t + 24 = 3
t² + 10t + 21 = 0
(t + 3)(t + 7) = 0
(x² - 5x + 3)(x² - 5x + 7) = 0      (∵ t = x² - 5x)

마지막에서 둘 다 인수분해가 안 되니까 근의 공식을 이용해야겠네요.

고차방정식의 풀이 예제 1, 치환 - 풀이 1

고차방정식의 풀이 예제 1, 치환 - 풀이 2

고차방정식의 풀이 - 복이차식

복이차식은 짝수차로만 이루어진 식을 말해요. 이때는 x²를 t로 치환해서 풀어요. t로 치환해서 인수분해가 되면 위에서 했던 대로 치환을 이용해서 풀면 돼요.

치환했는데 인수분해가 안 되면 다른 방법을 이용합니다. 이때는 식에 적당한 t 일차항을 빼주거나 더해줘서 t에 대한 완전제곱식이 될 수 있도록 해야 해요. 완전제곱식에서 일차항과 상수항은 아래와 같은 관계가 있죠?

이차방정식이 중근을 가질 조건

이렇게 완전제곱식을 만들면 A² - B²꼴로 모양이 바뀌는데, 인수분해 공식 - 합차공식을 이용해서 인수분해합니다.

복이차식: x² → t로 치환
- 인수분해되면 인수분해
- 인수분해 안 되면 t항을 적당히 더해주고 빼서 A² - B²로 변형 → 합차공식으로 인수분해

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) x⁴ - 5x² + 4 = 0
(2) x⁴ - 3x² + 1 = 0

(1) 복이차식이니까 x² = t로 치환해보죠.
x⁴ - 5x² + 4 = 0
t² - 5t + 4 = 0
(t - 1)(t - 4) = 0
(x² - 1)(x² - 4) = 0
(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) = 0
x = ±1 or ±2

(2) x² = t로 치환해보죠.
x⁴ - 3x² + 1 = 0
t² - 3t + 1 = 0 (∵ x² = t로 치환)
t² - 2t + 1 - t = 0 (∵ -3t = -2t - t)
(t - 1)² - t = 0
(x² - 1)² - x² = 0 (∵t = x²)
(x² + x - 1)(x² - x - 1) = 0

근의 공식으로 근을 구하면 가 돼요.

여기서는 완전제곱식을 만들기 위해서 t 일차항을 더해주고 뺀 것이 아니라 원래 있던 t 일차항을 둘로 나눴어요.