중3 때, 한 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에서 이차방정식의 계수가 유리수이고, m + nroot k가 근이면 m - nroot k도 근이 된다고 했어요. 이 글은 위 내용의 확장판입니다.

켤레근은 켤레복소수하고 비슷하죠? 이 둘을 연관 지어서 공부하면 이해하는 데 도움이 될 겁니다. 켤레근을 이용하면 이차방정식의 근을 조금 더 쉽게 구할 수 있어요.

이차방정식의 켤레근이 무엇이고, 이 켤레근은 어떤 성질을 가졌는지 알아보죠.

이차방정식의 켤레근

켤레라는 말은 켤레복소수, 켤레복소수의 성질에서 들어본 적이 있어요. 복소수에서 허수부분의 부호를 반대로 바꾼 복소수를 서로의 켤레복소수라고 한다고 했지요.

이차방정식의 근이 복소수일 때, 허수부분의 부호가 반대인 두 근을 서로 켤레근이라고 해요.

대신 이때는 이차방정식의 계수가 모두 실수여야 해요. 계수에 허수가 들어있으면 켤레근이 생기지 않아요.

x2 + ix + 1 = 0의 근을 구해보죠.

이차방정식의 켤레근 - 계수에 허수가 들어있을 때 1

두 근이 이차방정식의 켤레근 - 계수에 허수가 들어있을 때 2로 -i의 부호는 그대로여서 켤레관계가 아니죠? 허수가 포함된 항이 두 개 이상이 되고, 이때 모든 허수항의 부호가 반대로 되어야 하는데, 그렇지 않아서 켤레근이 생기지 않는 거예요.

근이 복소수가 아니라 실수일 때도 켤레근이 생겨요. 바로 무리수의 부호가 서로 반대인 두 근을 켤레근이라고 합니다.

x2 - 5x + 5 = 0의 해를 구해보죠.

이차방정식의 켤레근 - 계수가 유리수일 때 1

두 근이 이차방정식의 켤레근 - 계수가 유리수일 때 2로 무리수부분의 부호가 반대죠? 이런 근을 켤레근이라고 하는 거예요.

무리수 부분의 부호가 반대인 켤레근을 가지려면 이차방정식의 계수가 모두 유리수여야 해요.

이차방정식의 켤레근
이차방정식의 계수가 유리수일 때: 무리수 부분의 부호가 서로 반대인 근
이차방정식의 계수가 실수일 때: 허수 부분의 부호가 서로 반대인 근

이차방정식 켤레근의 성질

근의 공식을 잘 보면 ±을 기준으로 해서 유리수부분과 무리수부분으로 나뉘거나 실수부분과 허수부분으로 나뉘게 돼요. 이 ±때문에 켤레근은 항상 함께 이차방정식의 근이 되는 걸 알 수 있어요.

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)일 때, 근의 공식

이차방정식 켤레근의 성질
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)일 때
a, b, c 가 유리수이고 m + nroot k가 근이면 m - nroot k도 이차방정식의 근 (m, n은 유리수, n ≠ 0, root k는 무리수)
a, b, c 가 실수이고 m + ni가 근이면 m - ni도 이차방정식의 근 (m, n은 실수, n ≠ 0)

위에서 조심해야할 게 root k의 유리수, i앞의 실수 n ≠ 0이라는 거예요. 만약에 m = 3이고 n = 0이라면 x = 3 + 0i or x = 3 – 0i가 되어 x = 3이라는 중근을 갖는 것처럼 보이죠.

하지만 한 근이 3이라고 해서 반드시 중근이 되는 건 아니에요. (x – 1)(x – 3) = 0은 한 근이 3이지만 다른 근은 1이잖아요.

이차방정식의 계수가 유리수이고 한 근이 무리수 근일 때, 이차방정식의 계수가 실수이고 한 근이 복소수 근일 때만 위의 관계가 성립한다는 걸 알아두세요.

이차방정식 x2 + ax + b = 0의 한 근이 5 + 3i일 때, 실수 a, b를 구하여라.

이차방정식의 계수는 1, a, b인데 a, b가 실수라고 했으니 이 이차방정식은 복소수로 된 켤레근을 가져요. 한 근이 5 + 3i라고 했으니 다른 한 근은 5 - 3i가 되겠네요.

이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해서 a, b를 구해보죠.

두 근의 합 = -a = 5 + 3i + 5 - 3i = 10
a = -10

두 근의 곱 = b = (5 + 3i)(5 - 3i) = 25 + 9 = 34

따라서 a = -10, b = 34

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정리해볼까요

이차방정식 켤레근의 성질

  • ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)일 때
  • a, b, c 가 유리수이고 m + nroot k가 근이면 m - nroot k도 이차방정식의 근 (m, n은 유리수, n ≠ 0, root k는 무리수)
  • a, b, c 가 실수이고 m + ni가 근이면 m - ni도 이차방정식의 근 (m, n은 실수, n ≠ 0)
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