이차방정식의 해를 구할 때, 인수분해를 했었죠? 그런데 또 이차방정식의 인수분해라니 약간 이상할 거예요.

방정식의 해를 구할 때 인수분해 공식을 사용해서 인수분해할 수 있어요. 이글에서는 인수분해 공식을 사용할 수 없을 때 인수분해하는 방법에 대해서 공부할 거예요.

이차방정식을 인수분해해서 해를 구하는 과정을 거꾸로만 하면 되는 쉬운 내용이에요.

인수분해 공식을 사용할 수 없을 때 이차방정식을 인수분해하는 방법을 알아보죠.

이차방정식의 인수분해

이차방정식을 인수분해하려면 인수분해 공식을 이용하죠. 그런데 이 공식은 계수가 정수인 경우에 사용할 수 있어요. 그나마도 X자 방법을 할 수 있을 때죠. X자 방법을 사용할 수 없거나 계수가 분수, 소수, 무리수가 들어있다면 인수분해하기가 힘들죠.

인수분해 공식 - 이차항의 계수가 1이 아닐 때

2x2 - 2x + 2 = 0 이런 식은 인수분해 공식으로 인수분해할 수 없죠?

이럴 때 아주 간단한 방법으로 인수분해를 할 수 있어요. 보통은 이차방정식을 인수분해해서 근을 구하죠? 이 과정을 거꾸로 해서 근을 구한 다음에 인수분해를 하는 거예요.

이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근을 α, β라고 할 때, 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해 아래 식을 유도할 수 있어요.

α + β = 근와 계수와의 관계 - 두 근의 합
-a(α + β) = b

αβ = 근과 계수와의 관계 - 두 근의 곱
aαβ = c

ax2 + bx + c = 0에 위에서 구한 b, c를 넣어보죠.
ax2 + bx + c = 0
ax2 - a(α + β)x + aαβ = 0
a{x2 - (α + β)x + αβ} = 0
a(x - α)(x - β) = 0

이차방정식의 두 근과 이차항의 계수를 알면 a(x - α)(x - β) = 0로 인수분해를 할 수 있겠죠?

이차방정식의 두 근을 알아내려면 근의 공식을 이용하면 돼요.

이차방정식의 인수분해
1. 인수분해 공식을 이용해서 인수분해
2. 인수분해 공식을 사용할 수 없으면 근의 공식으로 근을 구하고, 이차항의 계수와 두 근을 이용해서 인수분해

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근이 α, β일 때,
a(x - α)(x - β) = 0

다음 이차방정식을 복소수 범위에서 인수분해하여라.
(1) x2 - 5x + 3 = 0
(2) 2x2 - 2x + 2 = 0

일단 인수분해 공식을 이용해서 인수분해를 할 수 있다면 공식을 이용하세요. 공식으로 안 되면 그때 근을 구해서 하는 겁니다.

(1) 인수분해 공식으로 인수분해가 안 되니 근을 구해서 해야겠네요.

이차방정식의 인수분해 예제 1 - 풀이 2

x2 - 5x + 3 = 0

이차방정식의 인수분해 예제 1 - 풀이 2

(2)번도 근을 구해보죠. 이차항의 계수가 2네요.

이차방정식의 인수분해 예제 2 - 풀이 1

2x2 - 2x + 2 = 0

이차방정식의 인수분해 예제 2 - 풀이 2

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정리해볼까요

이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 인수분해

  1. 인수분해 공식을 사용할 수 있으면
    인수분해 공식으로 인수분해
  2. 인수분해 공식을 사용할 수 없으면
    근의 공식으로 두 근(α, β)을 구한 후 인수분해
    a(x - α)(x - β) = 0
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