이차방정식은 두 개의 근을 가져요. 근을 구하면 근의 부호를 알 수 있어요. 하지만 부호만 알고 싶을 때는 근을 구하지 않고 이차방정식의 판별식과 근과 계수와의 관계를 이용하면 근들의 부호를 알 수 있어요.
근 하나하나의 부호를 정확하게 알 수는 없지만 둘의 부호가 같다 다르다 정도는 알 수 있죠. 또 둘의 부호가 같을 때에는 둘 다 양수인지 음수인지도 알 수 있고요.
이차방정식의 판별식과 근과 계수와의 관계를 이용해서 이차방정식 실근의 부호를 판별하는 방법을 알아보죠.
이차방정식 실근의 부호
복소수에는 대소관계나 부호가 없어서 허근이면 부호를 판별할 수 없어요. 실수는 부호가 있어서 실근일 때만 부호를 판별해요. 따라서 근의 부호를 판별할 때는 실근이라는 조건을 만족해야 해요.
이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 이차방정식이 실근을 가지려면 D ≥ 0이어야 한다고 했어요.
이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 두 근의 부호를 판별하려면 실근을 갖도록 D = b2 - 4ac ≥ 0이어야 해요.
이차방정식 실근의 부호를 판별할 때는 두 근의 합과 두 근의 곱을 이용해요.
두 근 α, β가 둘 다 양수면 어떨까요? 두 근의 합 α + β > 0이겠죠? 두 근의 곱 αβ > 0일 거예요.
반대로, 두 근 α, β가 둘 다 음수면 어떨까요? 두 근의 합 α + β < 0이고, 두 근의 곱 αβ > 0이죠.
만약에 두 근 α, β의 부호가 서로 반대면 어떨까요? 하나는 양수, 하나는 음수라면 말이죠. 일단 두 근의 합은 α, β의 절댓값에 따라 달라질 수 있어요. 양수인 근의 절댓값이 크면 합은 양수, 음수인 근의 절댓값이 크면 합은 음수예요. 근을 모르는 상태에서는 두 근의 합의 부호를 알 수가 없어요.
양수와 음수를 곱하니까 두 근의 곱 αβ < 0이에요. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해 αβ = 
αβ < 0
ac < 0
-4ac > 0
b2 - 4ac > b2
b2 은 실수의 제곱으로 0보다 크거나 같으니까 D = b2 - 4ac > 0이에요. αβ < 0이면 항상 D > 0이므로 D ≥ 0인지 굳이 확인할 필요가 없어요.
두 근이 부호가 반대일 때는 D ≥ 0은 확인할 필요가 없고 α + β의 부호는 알 수 없으니 αβ < 0인지만 확인하면 되는 거죠.
이차방정식 실근의 부호
ax2 + bx + c = 0(a, b, c는 실수, a ≠ 0)의 두 근을 α, β라고 할 때
두 근이 모두 양수: D ≥ 0, α + β > 0, αβ > 0
두 근이 모두 음수: D ≥ 0, α + β < 0, αβ > 0
두 근의 부호가 반대: αβ < 0
이차방정식 x2 + 5x + 4 = 0의 근을 α, β라고 할 때 α, β의 부호를 판별하여라.
근의 부호를 판별하려면 판별식 D, 두 근의 합 α + β, 두 근의 곱 αβ의 부호를 알아봐야 해요.
D = 52 - 4 × 1 × 4 = 25 - 16 = 9 > 0이므로 서로 다른 실근 두 개를 갖는군요. 부호를 판별할 수 있어요..
이차방정식에서 두 근의 합과 곱의 부호를 알려면 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해요.
α + β = -5 < 0이므로 둘 다 음수일 수도 있어요. 또 부호가 반대고 음수인 근의 절댓값이 큰 경우일 수도 있지요.
αβ = 4 > 0이므로 두 근의 부호가 같네요.
결국 이차방정식의 두 근 α, β는 둘 다 음수입니다
실제로 이차방정식의 근은 -1, -4로 둘 다 음수예요.
이차방정식 x2 - 4x + (k - 3) = 0의 두 근이 모두 양수가 되도록 하는 k의 범위를 구하여라.
이차방정식의 두 근을 α, β라고 할 때 두 근이 모두 양수이려면 D ≥ 0, α + β > 0, αβ > 0이어야 해요.
이차항의 계수가 짝수니까 D/4를 이용해보죠.
D/4 = (-2)2 - 1 × (k - 3) ≥ 0
4 - k + 3 ≥ 0
k ≤ 7
α + β = 4 > 0이네요. k가 들어있지 않으니까 문제와 직접적인 관계는 없어요.
αβ = k - 3 > 0
k > 3
k ≤ 7과 k > 3을 동시에 만족해야 하므로 3 < k ≤ 7입니다.
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