이차방정식의 두 근과 어떤 실수의 크기를 비교해보려고 해요. 실근을 알면 그냥 숫자를 비교하면 되지만 실근을 정확하게 모르는 경우에는 다른 방법이 있어야겠죠? 바로 이럴 때 이차함수의 그래프를 이용해서 실근과 숫자의 대소비교를 할 수 있어요. 그러니까 이차방정식 실근의 위치는 실수보다 크냐 작으냐를 의미하는 거예요.

이차방정식의 근과 숫자의 대소관계를 어떻게 비교할 수 있는지 그 조건은 무엇인지 알아보죠. 또 거꾸로 실근과 실수의 대소 관계를 이용해서 이차방정식을 구하는 문제도 풀어보죠. 그래프만 잘 보고 이해하면 의외로 쉽게 풀리는 내용이에요.

이차방정식 실근의 위치

이차함수 y = ax2 + bx + c (a > 0)의 그래프에서 x축과의 교점을 α, β라고 해보죠. 이 α, β는 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a > 0)의 근이에요. 이차방정식의 두 근 α, β와 다른 실수 k의 대소 비교를 해보고 싶어요.

그런데 문제는 α, β를 모른다는 거예요. α, β의 정확한 값을 모르는 상태에서 α, β와 실수의 크기를 비교하는 방법을 알아보죠. 이 문제를 풀 때는 판별식, 경계에서의 y의 부호, 대칭축의 위치라는 세 가지를 고려해야 해요.

먼저 두 근 α, β가 실수 k보다 클 때에요. 그래프를 그려봤더니 아래 그림처럼 됐어요.

이차방정식 실근의 위치 - 두 근이 k보다 클 때

일단 크기 비교를 하려면 실근이 있어야 해요. 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근에서 이차방정식이 실근을 가지려면 D ≥ 0이어야 한다고 했어요. 이게 첫 번째 조건이에요.

그림에서 보듯이 f(k) > f(α) 여야 하는데, f(α) = 0이니까 f(k) > 0이어야 해요. 이게 두 번째 조건이에요.

세 번째 조건은 축의 방정식이 k보다 오른쪽에 있어야 해요. 이차함수 y = ax2 + bx + c (a > 0)의 축의 방정식은 x = 에요. 따라서 -b/2a > k가 되어야 하죠.

완전제곱식으로 고치는 과정 펼치기

이번에는 두 근 α, β가 k보다 작을 때에요. 그래프로 그려보면 다음과 같아요.

이차방정식 실근의 위치 - 두 근이 k보다 작을 때

여기에도 세 가지 조건이 있는데, 첫 번째는 실근이 있어야 하므로 D ≥ 0이어야 해요.

f(k) > f(β)이어야 하는데 f(β) = 0이니까 f(k) > 0이어야 해요.

세 번째는 축의 방정식이 k보다 왼쪽에 있어야 해요. -b/2a < k가 되어야 하죠.

이번에는 두 근 α, β 사이에 k가 있을 때에요. 그림을 보세요.

이차방정식 실근의 위치 - 두 근 사이에 k가 있을 때

두 근 사이에 있으려면 두 근이 있어야겠죠? D > 0이어야 해요. D = 0이면 중근이라서 k가 두 근 사이에 있을 수 없어요.

그리고 f(k) < f(α) = f(β)가 되어야 하고요. 여기서 f(α) = f(β) = 0이니까 결국 f(k) < 0이네요.

k가 α와 β 사이에만 있으면 되니까 축의 방정식은 의미가 없어요.

세 가지 조건이 있는데, D < 0이면 실근이 없고, D = 0이면 중근이 생기죠. 그런데 이 두 경우에는 f(x) < 0인 부분이 없어요. 따라서 두 번째 조건인 f(k) < 0만 만족해도 f(x) < 0인 부분이 있다는 뜻으로 D > 0이라는 게 자연스럽게 성립돼요.

결국, 두 근 α, β 사이에 k가 있을 조건은 f(k) < 0 하나만 있으면 돼요.

  1. α, β가 k보다 클 때
    • D ≥ 0
    • f(k) > 0
    • k < -b/2a
  2. α, β가 k보다 작을 때
    • D ≥ 0
    • f(k) > 0
    • k > -b/2a
  3. α, β 사이에 k가 있을 때
    • f(k) < 0

1, 2번에서는 세 번째만 다르네요.

끝으로 두 근 α, β가 k'보다 크고, k보다 작을 때에요. (k' < k)

이차방정식 실근의 위치 - 두 근이 k'보다 크고 k보다 작을 때

위에서 세 가지 경우를 해봤어요.

두 근 α, β가 k'보다 크고, k보다 작을 경우는 1, 2번 경우를 하나로 합치면 되겠죠?

D ≥ 0, f(k') > 0, f(k) > 0, k' < -b/2a < k

x2 + 2x + m + 2 = 0의 두 근사이에 1 있을 때, 실수 m의 범위를 구하여라.

두 근 α, β 사이에 k가 있을 조건은 하나에요. f(k) < 0

f(x) = x2 + 2x + m + 2라고 놓으면
f(1) = 12 + 2 + m + 2
      = m + 5 < 0
m < -5

m < -5이면 x2 + 2x + m + 2 = 0의 두 근 사이에 1이 있네요.

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정리해볼까요

이차방정식 실근의 위치. 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a > 0)이 두 근을 α, β (α ≤ β)라고 할 때

  1. α, β가 k보다 클 때
    • D ≥ 0
    • f(k) > 0
    • k < -b/2a
  2. α, β가 k보다 작은 때
    • D ≥ 0
    • f(k) > 0
    • k > -b/2a
  3. α, β 사이에 k가 있을 때
    • f(k) < 0
  4. α, β가 k'보다 크고, k보다 작을 때 (k' < k)
    • D ≥ 0
    • f(k') > 0
    • f(k) > 0
    • k' < -b/2a < k
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