이차함수와 이차방정식은 참 많이 닮았어요. 그래서 이차함수의 그래프를 그리고 그 그래프를 통해서 이차방정식 실근의 개수를 알 수 있지요.

이 글에서는 이차함수의 그래프와 이차방정식 실근의 개수에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 이차함수 그래프를 간략하게 그릴 줄 알고 이차함수와 이차방정식의 간단한 관계만 알면 금방 이해할 수 있는 내용이에요.

이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근

이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)의 그래프에서 그래프가 x축과 만나는 점이 있다고 해보죠. x축을 방정식으로 나타내면 y = 0이니까 교점에서의 x좌표를 구하려면 이차함수 식에 y = 0을 대입해서 구해요.

ax2 + bx + c = 0이라는 식이 되고 여기서 구한 x가 이차함수 그래프와 x축의 교점의 x좌표예요. 그런데 이 식의 모양은 어디서 많이 본 모양이죠? 바로 이차방정식이에요. 즉, 이차방정식의 해가 교점의 x좌표예요.

이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 그래프와 x축의 교점의 x 좌표
    = 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

교점의 x좌표와 해가 서로 같으니까 개수도 서로 같겠죠?

이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프와 x축과의 교점이 2개면 이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 해도 두 개고, 교점이 하나면 해도 하나예요.

이차함수의 그래프와 x축과의 교점이 없으면 이차방정식의 해도 없어요. 좌표평면은 실수로만 이루어져 있으니까 정확히 말하면 실근이 없는 거죠. 수를 복소수까지 확장해보면 허근을 가져요.

이 얘기는 반대로도 할 수 있어요. 이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 해가 서로 다른 두 실근이면 이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프와 x축이 서로 다른 두 점에서 만나고, 이차방정식의 해가 중근이면 이차함수의 그래프와 x축은 한 점에서 만나요.

이차방정식이 실근을 가지지 않으면(서로 다른 두 허근을 가지면) 이차함수의 그래프와 x축은 만나지 않아요.

이차방정식이 실근을 몇 개 가지는지는 이차방정식의 판별식을 통해서 알 수 있어요.

ax2 + bx + c = 0

D = b2 - 4ac

D > 0이면 서로 다른 두 실근 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0이면 서로 같은 두 실근(중근) ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0이면 서로 다른 두 허근(실근 없음) ⇔ 만나지 않는다.

이 내용을 표로 정리해보죠. 그래프의 모양을 잘 보세요.

이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근

D > 0 D = 0 D < 0
y = ax2 + bx + c의 그래프 x축과 두 점에서 만난다. x축과 한 점에서 만난다. (접한다.) x축과 만나지 않는다.
a > 0일 때
a < 0일 때
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해 서로 다른 두 실근 중근 서로 다른 두 허근
이차함수 ax2 + bx + c (a ≠ 0)와 x축의 교점의 x좌표
= 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

이차함수의 그래프에서 이차항의 계수인 a의 부호에 따라 그래프의 볼록한 방향이 달라지는 걸 볼 수 있어요. 판별식의 부호와 a의 부호에 따라 그래프를 그릴 수 있어야 하고, 해의 개수도 알아내야 해요.

이차함수 y = x2 + 2x + k + 2의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k의 범위를 구하여라.

이차방정식 x2 + 2x + k + 2 = 0에서 D > 0 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나요. D < 0이면 만나지 않죠.

D = 22 - 4 × 1 × (k + 2) > 0
4 - 4k - 8 > 0
4k < -4
k < -1

k < -1이면 서로 다른 두 점에서 만나네요.

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정리해볼까요

이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)의 그래프와 이차방정식의 실근

  • 이차함수 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)의 그래프와 x축의 교점 = 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 실근
  • D > 0 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⇔ 서로 다른 두 실근
  • D = 0 ⇔ 한 점에서 만난다.(접한다.) ⇔ 중근
  • D < 0 ⇔ 만나지 않는다. ⇔ 서로 다른 두 허근
 
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