두 직선의 위치관계는 중학교 1학년 때 두 직선의 위치관계에서 공부했어요. 이때는 그냥 위치 관계의 종류에 대해서만 공부했죠. 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는 경우요.
이 글에서는 직선의 방정식과 위치관계 사이의 관계를 알아볼 거예요. 식을 보고 위치관계를 알아내고, 반대로 위치관계를 보고 직선의 방정식을 구할 수 있게요.
증명 과정이 약간 복잡할 수 있는데, 결론은 간단하니까 결론만 잘 외워두세요.
두 직선의 위치관계 - 평행, 일치
평행한 두 직선 y = mx + n, y = m'x + n'가 있어요. x축과 만나는 점을 각각 A, A'라고 해보죠. y축에 평행한 직선을 긋고 교점을 B, B'라고 하고요. 이 직선과 x축과의 교점을 H라고 하죠.
두 개의 직각삼각형이 생겨요. △ABH, △A'B'H
∠ABH = ∠A'B'H (평행선에서 동위각)
∠AHB = ∠A'HB' = 90°
두 직각삼각형은 AA 닮음이에요. 대응변의 길이를 비례식으로 표현해보죠.
m = m'일 때, n = n'이라면 어떨까요? 두 직선은 겹쳐지겠죠? 일치하게 되는 거예요. n ≠ n'이라면 그냥 평행하기만 하고 겹치지는 않고요.
두 직선의 위치관계 - 수직
y = mx + n과 y = m'x + n'이 수직으로 만날 때에요. 왼쪽 그림의 수직으로 만나는 두 그래프를 교점이 원점이 되도록 그대로 평행이동 시켜보죠. 평행이동 시킨다고 해도 두 직선이 수직으로 만나는 건 바뀌지 않으니까요. y = mx + n은 y = mx가 되고, y = m'x + n'은 y = m'x가 돼요.
여기에 x = 1이라는 직선을 그렸어요. x = 1과 y = mx의 교점을 A, x = 1과 y = m'x의 교점을 B라고 하면 △OAB가 생기는 데 직각삼각형이에요.
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 피타고라스의 정리를 적용해보죠. A(1, m), B(1, m'), O(0, 0)
두 직선이 수직일 때는 (두 직선의 기울기의 곱) = -1이 되는군요.
수직으로 만나는 경우 말고 그냥 만나는 때는 언제일까요? 기울기가 같으면 평행이라고 했어요. 기울기가 같지 않으면 평행하지 않겠죠? 평행하지 않으면 두 직선은 만나게 돼요. 따라서 기울기가 같지 않으면 한 점에서 만나요.
| y = mx + n,y = m'x + n' | ||
|---|---|---|
| 평행 | 기울기는 같고, y절편은 다르다 | m = m', n ≠ n' |
| 일치 | 기울기가 같고 y절편도 같다. | m = m', n = n' |
| 수직 | (기울기의 곱) = -1 | mm' = -1 |
| 한 점에서 만난다 | 기울기가 다르다 | m ≠ m' |
y = 2x + 3과 평행하고 (2, 1)을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.
두 직선이 평행하려면 기울기가 같고 y절편이 달라야 하죠?
y = 2x + 3과 평행하다고 했으니 구하려는 직선의 방정식의 기울기는 2에요. y = 2x + n
y = 2x + n이 (2, 1)을 지난다고 했으니 식에 대입해보죠.
y = 2x + n
1 = 2 × 2 + n
n = -3
y = 2x - 3이네요.
y = ax + 3과 y = -x + b가 y축 위의 한 점에서 수직으로 만날 때, a + b의 값을 구하여라.
y축 위의 한 점에서 만난다고 했어요. y축 위의 점은 바로 y절편이죠? 따라서 y절편이 같다는 뜻이에요. y = ax + 3에서 y절편은 (0, 3)이므로 b = 3이네요.
두 직선이 수직이려면 (기울기의 곱) = -1이에요. a = 1이네요.
a + b = 1 + 3 = 4
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안녕하세요.
질문이 있는데요.
선분 AB 길이의 길이 수식이 잘 이해가 가지 않는데요.
AB = m-m' 으로 생각 되는데 수식에는 (1-1)^2 포함이 되어 있어서
아래 식이 잘 이해가 가지 않는데요..
(루트(1-1)^2 + (m-m')^2)^2
설명 부탁드려도 될까요??
두 점 사이의 거리 = 루트{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}이잖아요.
(x2 - x1)^2 = (1 - 1)^2
(y2 - y1)^2 = (m - m')^2
둘을 더한 거예요. 어차피 (1-1)^2 = 0이긴 하지만 그래도 써줘야죠.
혹시 ax+by+c=0의 꼴인 직선 두개가 수직할땐 어떻게 구하나요?
두직선의 위치관계에서 한점에서 만날때 기울기가 서로다르다고하셨잖아요~
그리고y절편이같아야하는데 y절편이다를때 x절편이같다고해도 한점에서 만날수있나요..?
한 점에서 만나는 건 기울기만 다르면 되고, y절편과는 아무런 상관이 없어요. y절편은 같아도 되고 달라도 돼요. x절편도 마찬가지로 아무 상관 없고요.
추가로, 기울기가 다를 때, y절편이 같거나 x절편이 같으면 한 점에서 만나는 거죠.
위 답변에서
x2 가 왜 1인지와
y2 가 왜 m'이 아니고 m 인지 궁금합니다. ^^
그림 아래 설명되어 있는 것처럼 두 직선의 교점을 원점으로 이동한 후에 x = 1과의 교점을 A, B로 했으니까 두 점 모두 x좌표는 1이에요.
y2 = m'인데, 빼서 제곱을 하니까 y2 - y1이나 y1 - y2나 그 결과가 같잖아요. 순서는 중요한 내용이 아니라서 신경쓰지 않았어요.
두 직선의 위치관계 -평행, 일치 부분에서 B=B'이면 왜 일치하는 것인가요? A와 A'의 값이 다른데 B와 B'이 같으면 두개의 기울기 값이 달라지므로 일치할수 없는게 아닌가요?
B, B'이 아니라 n, n'이 더 정확한 설명이네요.
비밀댓글입니다
두 직선의 위치관계 - 일반형(http://mathbang.net/450)을 참고하세요.
천천히 아주 천천히 공책에 적으며 이해햇어요
막힌곳 없이 한방에 이해 햇으면 잘한거 맞죠?ㅎㅎ 수직으로교차할때 기울기곱이-1이된다는 작을글 증명. 어러워 보엿는데 직접써보고 다시보니 뭐 산수네요ㅋ다음장으로ㄱㄱ
눈으로 보면 어려워 보이는데, 직접 종이에 써보면서 해보면 별 거 아니죠. 수학이 원래 그런 거예요. 되게 어려워보이지만 막상 해보면 할 만 하죠.
피타고라스 정리부분 3번째줄에 √(1²+ m'²으로 괄호 오타있습니당
그러네요. ㅠㅠ
왜 수직을 증명할때 점 좌표를 m과 m'으로 넣은건지 궁금해요. a 나 다른 문자로 넣으면 안되나요? 음..m 과 m'은 기울기인데 왜그렇게 증명되는지 궁금해요.
다른 문자 넣어도 됩니다.
다만, m, m'이 기울기니까 기울기의 정의를 생각하면 쉽게 찾을 수 있는 점의 좌표잖아요. x좌표가 1이니까 계산도 쉽고요.
수학방님의 강좌에 감사를 표하면서 오늘도 전 40분을 보고 갑니다. 그나마 기억력이 달리는 대신에 이해력은 좀 나은듯 해서 꾸준히 보고 있습니다. --; 두직선이 수직일때
-1이 된다는 것. 포인트네요. 혹시 다른 증명법도 있나요? 궁금...
짝짝짝