두 직선의 위치관계는 중학교 1학년 때 두 직선의 위치관계에서 공부했어요. 이때는 그냥 위치 관계의 종류에 대해서만 공부했죠. 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는 경우요.
이 글에서는 직선의 방정식과 위치관계 사이의 관계를 알아볼 거예요. 식을 보고 위치관계를 알아내고, 반대로 위치관계를 보고 직선의 방정식을 구할 수 있게요.
증명 과정이 약간 복잡할 수 있는데, 결론은 간단하니까 결론만 잘 외워두세요.
두 직선의 위치관계 - 평행, 일치
평행한 두 직선 y = mx + n, y = m'x + n'가 있어요. x축과 만나는 점을 각각 A, A'라고 해보죠. y축에 평행한 직선을 긋고 교점을 B, B'라고 하고요. 이 직선과 x축과의 교점을 H라고 하죠.
두 개의 직각삼각형이 생겨요. △ABH, △A'B'H
∠ABH = ∠A'B'H (평행선에서 동위각)
∠AHB = ∠A'HB' = 90°
두 직각삼각형은 AA 닮음이에요. 대응변의 길이를 비례식으로 표현해보죠.
m = m'일 때, n = n'이라면 어떨까요? 두 직선은 겹쳐지겠죠? 일치하게 되는 거예요. n ≠ n'이라면 그냥 평행하기만 하고 겹치지는 않고요.
두 직선의 위치관계 - 수직
y = mx + n과 y = m'x + n'이 수직으로 만날 때에요. 왼쪽 그림의 수직으로 만나는 두 그래프를 교점이 원점이 되도록 그대로 평행이동 시켜보죠. 평행이동 시킨다고 해도 두 직선이 수직으로 만나는 건 바뀌지 않으니까요. y = mx + n은 y = mx가 되고, y = m'x + n'은 y = m'x가 돼요.
여기에 x = 1이라는 직선을 그렸어요. x = 1과 y = mx의 교점을 A, x = 1과 y = m'x의 교점을 B라고 하면 △OAB가 생기는 데 직각삼각형이에요.
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 피타고라스의 정리를 적용해보죠. A(1, m), B(1, m'), O(0, 0)
두 직선이 수직일 때는 (두 직선의 기울기의 곱) = -1이 되는군요.
수직으로 만나는 경우 말고 그냥 만나는 때는 언제일까요? 기울기가 같으면 평행이라고 했어요. 기울기가 같지 않으면 평행하지 않겠죠? 평행하지 않으면 두 직선은 만나게 돼요. 따라서 기울기가 같지 않으면 한 점에서 만나요.
| y = mx + n,y = m'x + n' | ||
|---|---|---|
| 평행 | 기울기는 같고, y절편은 다르다 | m = m', n ≠ n' |
| 일치 | 기울기가 같고 y절편도 같다. | m = m', n = n' |
| 수직 | (기울기의 곱) = -1 | mm' = -1 |
| 한 점에서 만난다 | 기울기가 다르다 | m ≠ m' |
y = 2x + 3과 평행하고 (2, 1)을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.
두 직선이 평행하려면 기울기가 같고 y절편이 달라야 하죠?
y = 2x + 3과 평행하다고 했으니 구하려는 직선의 방정식의 기울기는 2에요. y = 2x + n
y = 2x + n이 (2, 1)을 지난다고 했으니 식에 대입해보죠.
y = 2x + n
1 = 2 × 2 + n
n = -3
y = 2x - 3이네요.
y = ax + 3과 y = -x + b가 y축 위의 한 점에서 수직으로 만날 때, a + b의 값을 구하여라.
y축 위의 한 점에서 만난다고 했어요. y축 위의 점은 바로 y절편이죠? 따라서 y절편이 같다는 뜻이에요. y = ax + 3에서 y절편은 (0, 3)이므로 b = 3이네요.
두 직선이 수직이려면 (기울기의 곱) = -1이에요. a = 1이네요.
a + b = 1 + 3 = 4
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