닮은 도형에 대해서 공부하고 있어요. 어떤 도형을 닮은 도형이라고 하는지, 어떤 성질이 있는지, 어떤 위치에 있는지요. 이 글에서는 닮음비를 알려주지 않았을 때, 두 삼각형이 닮은 도형이 되려면 어떤 조건을 갖춰야 하는지 알아보죠.

먼저, 삼각형의 닮음 조건은 삼각형의 합동조건과 같아요. 아주 작은 차이만 있어요. 이 차이는 쉽게 이해할 수 있을 겁니다. 참고로 삼각형의 합동조건은 삼각형의 결정조건, 삼각형의 작도 조건과도 같으니까 꼭 알고 있어야 하는 조건이에요. 앞으로도 계속 나와요.

삼각형의 닮음 조건

먼저 삼각형의 합동 조건부터 얘기해볼까요? 세 가지가 있죠?

  • SSS 합동: 세 쌍의 대응변의 길이가 같을 때
  • SAS 합동: 두 쌍의 대응변의 길이가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때
  • ASA 합동: 한 쌍의 대응변의 길이가 같고, 양 끝각의 크기가 같을 때

합동은 두 도형의 닮음비가 1 : 1일 때에요. 비가 1 : 1이니까 대응변의 길이가 같겠죠? 그런데 닮음은 1 : 1이 아닌 경우도 있으니까 대응변의 길이가 달라요. 대신 대응변의 길이의 비가 같죠. 따라서 삼각형의 닮음 조건은 삼각형의 합동조건에서 "길이가 같다."를 "길이의 비가 같다."로 바꾸면 돼요.

또 한 가지 차이가 있는데요. 삼각형은 각이 세 개이고 내각의 합은 180°죠? 두 삼각형에서 대응각 두 개가 같으면 자동으로 나머지 한 쌍의 대응각도 같아서 결국 세 쌍이 다 같아져요. 세 쌍의 대응의 크기가 같으면 닮은 도형이잖아요. 따라서 세 번째 ASA에서 두 각의 크기만 같으면 돼요. 한 쌍의 대응변의 길이의 비가 같은지는 굳이 확인하지 않아도 된다는 거죠. 두 대응각의 크기만 같으면 되니까 ASA 닮음이 아니라 AA 닮음이라고 해요.

삼각형의 합동과 닮음 비교
합동 닮음
SSS 합동
세 쌍의 대응변의 길이가 같을 때
SSS 닮음
세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같을 때
SAS 합동
두 쌍의 대응변의 길이가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때
SAS 닮음
두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때
ASA 합동
한 쌍의 대응변의 길이가 같고, 양 끝각의 크기가 같을 때
AA 닮음
두 대응각의 크기가 같을 때

삼각형의 닮음 조건 1 - SSS 닮음

삼각형의 닮음 조건 2 - SAS 닮음

삼각형의 닮음 조건 3 - AA 닮음

다음 그림에서 이다. 보기와 같은 조건이 추가될 때 두 삼각형은 어떤 닮음인지 닮음 조건을 말하여라.
(1)
(2) ∠C = ∠F

문제에서 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 한 쌍의 대응각의 크기가 같다고 했네요. 그런데 이 대응각이 길이의 비가 같은 대응변 사이의 끼인각은 아니네요.

(1) 번에서 한 쌍의 대응변의 길이의 비가 같다는 조건이 추가된다면 결국 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같아지므로 두 삼각형은 SSS 닮음이 됩니다.

또, 이고 ∠A = ∠D로 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같으므로 SAS 닮음도 되네요.

(2) 번에서 한 쌍의 대응각의 크기가 같다는 조건이 나왔어요. 이 대응각은 길이의 비가 같은 두 쌍의 대응변 사이의 끼인 각이 아니죠. 따라서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로 AA 닮음입니다.

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정리해볼까요

삼각형의 닮음 조건

  • SSS 닮음: 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같을 때
  • SAS 닮음: 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때
  • AA 닮음: 두 쌍의 대응각의 크기가 같을 때
 
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