직각삼각형에서의 닮음

닮은 도형 이번에는 직각삼각형이에요. 직각삼각형의 닮음에서는 그동안 해왔던 합동과의 비교가 아니라서 조금 어려울 수 있어요.

비슷하게 생긴 그림도 많이 나오고, 공식도 나오니까 주의하여 잘 보세요.

이 글에서는 3개의 공식이 나오는데, 이건 그림으로 외우세요. 알파벳으로 된 공식 그 자체를 외우는 건 바보스러운 짓이라는 걸 미리 말해둘게요. 그러니까 알파벳은 공식을 유도하는 과정에서만 이해하시면 돼요.

직각삼각형에서의 닮음

직각삼각형 ABC의 직각이 있는 점 A에서 에 수선을 내리고, 수선의 발을 H라고 해보죠.

원래 있던 직각삼각형 ABC 외에 두 개의 직각삼각형이 더 생겼어요. △HBA와 △HAC요. 큰 직각삼각형, 중간 직각삼각형, 작은 직각삼각형 세 삼각형을 이용해서 각 변의 길이 사이에는 어떤 특징이 있는지 알아볼 거예요.

먼저 △ABC와 △HBA를 볼까요? 큰 직각삼각형과 중간 직각삼각형이죠. 한 쌍의 대응각은 직각(∠A = ∠H = 90°)이고, ∠B는 공통각이예요. 두 쌍의 대응각의 크기가 같으니까 나머지 한 쌍의 대응각의 크기도 같겠죠? ∠C = ∠BAH. 두 대응각의 크기가 같으니까 AA 닮음이지요. △ABC ∽ △HBA

닮은 도형에서 대응변의 길이의 비는 같으므로 라는 식을 세울 수 있어요. 첫 번째 항과 두 번째 항에 가 공통으로 들어 있으니까 두 항만 따로 떼서 정리해보죠.

식을 정리했더니 길이에 대한 공식이 하나 나왔네요. 두 삼각형으로 나누어져 있던 그림 말고 원래대로 처음의 삼각형 그림으로 돌아와서 보세요.

위 공식에 있는 변들이 그림에서 어떤 위치에 있는지 확인하세요. 직각이 아닌 꼭짓점에서 시작하는 세 변의 길이에 대한 공식이에요. 직각이 아닌 꼭짓점(점 B)에서 직각(점 A)으로 가는 변의 길이는 제곱해주고, 점 B에서 다른 꼭짓점(점 H, 점 C)으로 가는 두 변의 길이는 서로 곱해주는 거죠.

이 공식을 알파벳을 이용하거나 위 설명처럼 외울 수는 없어요. 대신 그림으로 외워야 해요. 그림에서 변을 짚어가면서 "이 변의 제곱은 이 변 곱하기 이 변" 이런 식으로요.

이번에는 △ABC와 △HAC에요. 처음의 큰 직각삼각형과 작은 직각삼각형이요. 한 쌍의 대응각은 직각(∠A = ∠H = 90°)이고요, ∠C라는 공통각을 가져요. 두 쌍의 대응각의 크기가 같으니까 나머지 한 쌍의 대응각의 크기도 같겠죠? ∠B = ∠CAH. 두 대응각의 크기가 같으니까 AA 닮음이에요. △ABC ∽ △HAC

여기서도 마찬가지로 대응변의 길이의 비를 이용해서 비례식을 만들어 보죠. 라는 식을 세울 수 있어요. 두 번째 항과 세 번째 항에 가 공통으로 들어 있으니까 두 항만 따로 떼서 정리해보죠.

식을 정리했더니 공식이 또 하나 나왔네요. 다시 처음의 삼각형 그림으로 돌아오세요.

이 공식도 마찬가지로 그림으로 외우세요. 직각이 아닌 꼭짓점(점 C)에서 직각(점 A)으로 가는 변의 길이는 제곱해주고, 점 C에서 다른 꼭짓점(점 H, 점 B)으로 가는 두 변의 길이는 서로 곱해주는 거죠.

마지막으로 중간 직각삼각형과 작은 직각삼각형이에요. △HBA와 △HAC요. ∠H는 직각으로 같아요. 삼각형 내각의 합은 180°고 ∠H = 90°이므로 나머지 두 각의 합이 90°에요. ∠B + ∠BAH = 90°, ∠C + ∠CAH = 90°

큰 삼각형에서 ∠A = ∠BAH + ∠CAH = 90°죠.

∠B + ∠BAH = ∠BAH + ∠CAH = 90°이므로 ∠B = ∠CAH
∠C + ∠CAH = ∠BAH + ∠CAH = 90°이므로 ∠C = ∠BAH

∠H는 직각으로 같고, ∠C = ∠BAH, ∠B = ∠CAH로 세 쌍의 대응각이 같아요. AA 닮음이죠. △HBA ∽ △HAC

대응변의 길이의 비를 이용하면 라는 식을 세울 수 있어요. 첫 번째 항과 세 번째 항에 가 공통으로 들어 있으니까 두 항만 따로 떼서 정리해보죠.

처음의 삼각형 그림으로 돌아오세요.

역시 그림으로 외우세요. 직각삼각형에서 내린 수선의 길이의 제곱은 반으로 나뉜 변의 길이를 각각 곱한 것과 같죠?

이제 삼각형을 따로 떼어놓지 않아도 직각삼각형을 보면 이 공식이 바로 나올 수 있도록 해야겠죠? 그리고 직각이 어느 위치에 있든지 수선을 내려서 그 길이의 관계를 알 수 있어야 해요. 위 그림에서는 직각이 위쪽에 있지만, 문제에서는 직각이 오른쪽 아래에 있을 수도 있고, 왼쪽 아래에 있을 수도 있거든요.

다음 그림에서 x, y를 구하여라.

x를 구하려면 x² = y(y + 3)라는 식을 세워야 하는데 미지수가 2개라서 이 식만 가지고는 x를 구할 수 없네요. y를 먼저 구해보죠.

y를 이용해서 4² = y × 3이라는 식을 세울 수도 있고요. 5² = 3(3 + y)이라는 식을 세울 수도 있어요. y = (cm)

y를 첫 번째 식에 대입해서 x를 구하면 x = (cm)

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