닮은 도형은 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소해서 얻은 도형을 말해요. 두 닮은 도형의 위치에 따라서 또 다른 특징이 있는데, 이 글에서는 닮은 도형의 위치에 따른 성질을 알아볼 거예요.

이 성질을 잘 안다면 두 도형의 위치만 보고도 닮은 도형인지 아닌지 파악할 수 있어요. 또 그림이 그려져 있지 않아도 설명만 듣고도 닮은 도형인지 아닌지 알 수 있죠. 새로운 방법으로 닮음비도 구할 수 있고, 대응변의 길이도 구할 수 있고, 여러 가지 장점이 있어요.

닮음의 위치와 닮음의 중심

두 도형이 있어요. 이 도형에서 대응점을 연결하는 직선을 그으면 한 점에서 만나게 되는데, 이때 두 도형을 닮음의 위치에 있다고 얘기합니다. 그 연결선들이 만나는 한 점을 바로 닮음의 중심이라고 하고요.

닮음의 위치와 닮음의 중심 1

△ABC와 △DEF에서 대응점을 연결하는 직선이 한 점 O에서 만나요. 따라서 두 삼각형은 닮음의 위치에 있다고 하고, 점 O를 닮음의 중심이라고 하지요.

닮은 도형이라고 해서 모두 닮음의 위치에 있는 건 아니에요.

닮음의 위치에 있지않은 닮은 도형

두 도형은 닮은 도형이지만 대응점을 연결했을 때 연결선이 한 점에서 만나지 않죠.

닮음의 중심의 위치

닮음의 중심은 상황에 따라 여러 위치에 있을 수 있어요. 여러 경우가 있겠지만 크게 보면 세 가지 경우로 나누죠. 처음 그림에서는 닮음의 중심이 두 도형의 왼쪽에 있지요? 왼쪽이든 오른쪽이든 상관없이 두 도형의 외부에 있다고 얘기합니다.

닮음의 위치와 닮음의 중심 2

왼쪽 그림에서는 닮음의 중심은 두 도형의 사이에 있지요? 이 경우에도 마찬가지로 외부에 있다고 얘기합니다.

가운데 그림에서 닮음의 중심은 도형의 내부에 있어요.

오른쪽 그림에서는 도형의 꼭짓점에 있죠. 도형의 한 변에 있는 경우를 포함해서 이때를 도형의 위에 있다고 얘기해요.

닮음의 위치에 있는 두 도형의 성질

닮음의 위치에 있는 두 도형의 성질

대응점을 연결한 직선이 한 점에서 만나면 닮음의 위치에 있다고 했으니 거꾸로 닮음의 위치에 있으면 대응점을 연결한 직선이 한 점에서 만난다고 할 수 있죠.

닮음의 중심에서 대응점에 이르는 거리비는 닮음비와 같아요. 라면 도 성립한다는 거예요.

또 대응변은 서로 평행이에요. △OAB와 △ODE는 세 변의 길이의 비가 같은 닮은 도형이죠. 닮은 도형에서 대응각은 크기가 같아요. ∠OAB = ∠ODE이므로 평행선의 성질에 따라 동위각의 크기가 같으므로 가 됩니다. 다른 대응변들도 마찬가지고요.

닮음의 위치에 있는 도형의 성질
1. 대응점끼리 연결한 직선은 한 점에서 만난다. → 닮음의 중심
2. 닮음의 중심에서 대응점까지의 거리의 비는 일정 = 닮음비
3. 대응변은 서로 평행

닮은 위치에 있는 도형의 성질을 이용하면 두 도형이 닮은 도형의 위치에 있는지 아닌지 알 수 있겠죠?

아래 그림에서 □ABCD와 □EFGH는 서로 닮은 관계에 있고, 일 때, 의 길이를 구하여라.
닮음의 위치 예제

이므로 이예요. 이 비는 닮음비와 같죠. 닮음비는 변의 길이의 비와 같으므로 의 비례식을 풀어보면,  = 6cm라는 걸 알 수 있어요.

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정리해볼까요

닮음의 위치

  • 두 도형의 대응하는 점을 연결한 직선이 한 점에서 만날 때 닮음의 위치에 있다고 한다.
  • 닮음의 중심: 대응점을 연결한 직선이 만나는 한 점
  • 닮음의 중심의 위치: 도형의 밖, 도형의 내부, 도형 위

닮음의 위치에 있는 도형의 성질

  • 대응점끼리 연결한 직선은 한 점에서 만난다. → 닮음의 중심
  • 닮음의 중심에서 대응점까지의 거리의 비는 일정 = 닮음비
  • 대응변은 서로 평행
 
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