자연수의 합을 구할 수 있나요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n이요. 숫자만 보면 첫째항이 1이고 공차가 1인 등차수열이니까 자연수의 합은 등차수열의 합 공식을 이용하면 구할 수 있어요.
이 글에서는 그냥 자연수의 합이 아니라 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + … + n2처럼 거듭제곱인 자연수의 합을 구하는 공식을 유도해볼 거예요.
지수가 더 높은 자연수의 거듭제곱도 공식을 유도하는 원리와 방법이 같아요. 어떤 원리로 어떤 과정을 거쳐서 공식을 유도하는지 잘 알아두세요.
자연수 거듭제곱의 합
자연수의 합을 구해볼까요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n
이 자연수의 합은 첫째항이 1이고 공차가 1, 마지막 항이 n인 등차수열의 합이에요. 따라서 등차수열의 합 공식을 이용해서 구할 수 있어요. 또 숫자들의 합이니까 ∑를 이용해서 나타낼 수도 있죠.
이번에는 자연수 제곱의 합을 구해볼까요? 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + … + n2
그런데 이 수열은 등차수열도 아니고 등비수열도 아니에요. 그래서 공식을 바로 적용할 수가 없죠. 이 자연수 제곱의 합을 구하는 공식을 유도해보죠.
항등식 (x + 1)3 - x3라는 식을 이용할 거예요. 구하려고 하는 식은 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이네요.
(x + 1)3 - x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 - x3 = 3x2 + 3x + 1
이 항등식에 x = 1, 2, 3, 4, n을 대입해보죠.
x = 1 → 23 - 13 = 3 × 12 + 3 × 1 + 1
x = 2 → 33 - 23 = 3 × 22 + 3 × 2 + 1
x = 3 → 43 - 33 = 3 × 32 + 3 × 3 + 1
x = 4 → 53 - 43 = 3 × 42 + 3 × 4 + 1
x = n → (n + 1)3 - n3 = 3 × n2 + 3 × n + 1
위 n개의 식을 같은 변끼리 더해보죠. 좌변에서는 왼쪽에 있는 항과 바로 아래 식에 있는 오른쪽 항이 없어져요. 그러면 첫 번째 식의 - 13과 마지막 식의 (n + 1)3만 남게 되죠. 우변에서는 3과 제곱으로 이루어진 항을 하나로 묶을 수 있고, 3과 숫자가 곱해진 항을 묶을 수 있어요. 1은 n개가 있네요.
(n + 1)3 - 13 = 3(12 + 22 + 32 + 42 + … + n2) + 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n) + n
우변의 괄호 안에 있는 숫자들의 합을 ∑를 이용해서 나타내고 을 대입해보죠.
자연수 제곱의 합 공식을 얻었어요.
자연수 세제곱의 합 공식
자연수 제곱의 합은 항등식 (x + 1)3 - x3라는 식을 이용해서 구했어요. 구하려고 하는 식은 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이었죠? 그럼 자연수의 세제곱의 합은 어떻게 구할까요? 세제곱의 합을 구하는 거니까 네제곱이 있는 항등식을 이용해요. (x + 1)4 - x4
(x + 1)4 - x4 = 4x3 + 6x2 + 4x + 1
위에서 했던 것처럼 x = 1, 2, 3, 4, …, n을 대입하고 같은 변끼리 더해서 정리하면 자연수의 세제곱 합 공식을 얻을 수 있어요.
자연수 거듭제곱의 합 공식
을 간단히 하여라.
시그마(∑)의 기본 성질을 이용해서 각 항을 나눠보죠. 그리고 위에서 유도한 자연수 거듭제곱의 합 공식을 대입해요.
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등차수열의 합, 등차수열의 합 공식
제곱의합공식에서왜꼭세제곱식을사용해야하나요...?ㅠㅠㅠㅠ
꼭 사용해야하는 건 아닌데, 이렇게 유도하면 쉽잖아요.
귀납법 설명은 없나요... ?
네, 아직 없어요.
책으로만 봤을때는 어려웠는데 감사합니다
책에는 비교적 간략하게 나와있어서 그렇죠. 책보고 이해되지 않는 게 있으면 또 보러 오세요.
세제곱의 합 공식에서요
k=1이 아닌 k=2로 두고 공식을 적용시키니까 54×54=2916이 나오는데
나와야할 답은 3024가 아닌가요?
무슨 얘긴지 모르겠네요. ㅠ
공식유도과정이 재밌어요 복잡해보이더만 신기하네요 고맙습니다
직접 해보세요. 더 신기해요. ㅎㅎ
감사합니다.
이런 좋은 곳이 있는 줄 몰랐네요.
거듭제곱합 기억이 안나서 계속 찾고 있었는데 어찌나 찾기가 힘든지 ㅠㅠ
수학방을 알고 있었다면 그건 매우 쉬운 일이었는데요. ㅎㅎ
앞으로 기억나지 않는게 있다면 제일 먼저 수학방에서 찾아보세요.
수학적...귀납법...알려주세요..ㅠㅠㅠ
너무 어려워요..
한마디로 "따봉" 입니다.
이렇게 설명해주시면되는데 정석에서는 교과서에 있으니 유도과정없이 무조건 외우라는 식이네요!
이왕이면 쌍따봉으로 해주세요. ㅎㅎ
테트리스같네요. 다더하니까 줄줄이 날아가는 쾌감!ㅋㅋ
이거를 공책에 써보세요.
선을 쫙쫙 그어 지워보시면 더 큰 쾌감을 얻을 수 있을 거예요.
시그마 k=1부터 n 까지 루트 k의 계산은 어떻게 하는 지 아시나요?
너무 잘 봤어요...이해가 쏙쏙 되는군요...쌍 따봉!!!
옵치 시그마 하지말고 시그마 문제 더 풀어봅시다
옵치 시그마랑 둘 다 하세요.
서로 번갈아 가면서 하면 좋잖아요. 공부도 게임도 하나만 하면 질려요.
이거보니까 몇제곱이든 sum을 구할 수 있겠네요!
감사합니다.(물론 계산이 복잡해서 실제로 하진 않겠지만요..ㅎㅎ)
n의 급수는 n이 1이 아닌 k 부터 시작해도 구할 수 있는데
2분에 항의개수*(첫째항+마지막항)
n^2 급수는 n이 1이 아닌 k 부터 시작하면 어떻게 구하나요?
1 ~ n의 합에서 1 ~ k의 합을 빼요.