자연수 거듭제곱의 합 공식, 유도

2014. 6. 3. 12:30

< 고등수학/대수 > 의 글입니다.

자연수 합을 이용해서 자연수 제곱의 합, 자연수 세제곱의 합 공식을 유도하고 유도한 공식을 활용하여 실제 문제를 풀 수 있습니다.

자연수의 합을 구할 수 있나요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n이요. 숫자만 보면 첫째항이 1이고 공차가 1인 등차수열이니까 자연수의 합은 등차수열의 합 공식을 이용하면 구할 수 있어요.

이 글에서는 그냥 자연수의 합이 아니라 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … + n²처럼 거듭제곱인 자연수의 합을 구하는 공식을 유도해볼 거예요.

지수가 더 높은 자연수의 거듭제곱도 공식을 유도하는 원리와 방법이 같아요. 어떤 원리로 어떤 과정을 거쳐서 공식을 유도하는지 잘 알아두세요.

자연수 제곱의 합 공식

자연수의 합을 구해볼까요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n

이 자연수의 합은 첫째항이 1이고 공차가 1, 마지막 항이 n인 등차수열의 합이에요. 따라서 등차수열의 합 공식을 이용해서 구할 수 있어요. 또 숫자들의 합이니까 ∑를 이용해서 나타낼 수도 있죠.

이번에는 자연수 제곱의 합을 구해볼까요? 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … + n²

그런데 이 수열은 등차수열도 아니고 등비수열도 아니어서 공식을 바로 적용할 수가 없어요. 이 자연수 제곱의 합을 구하는 공식을 유도해보죠.

항등식 (x + 1)³ - x³라는 식을 이용할 거예요. 구하려고 하는 식은 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이네요.

(x + 1)³ - x³ = x³ + 3x² + 3x + 1 - x³ = 3x² + 3x + 1

이 항등식에 x = 1, 2, 3, 4, …, n을 대입해보죠.

x = 1 →	2³	- 1³ = 3 × 1³ + 3 × 1 + 1
x = 2 →	3³	- 2³ = 3 × 2³ + 3 × 2 + 1
x = 3→	4³	- 3³ = 3 × 3³ + 3 × 3 + 1
x = 4 →	5³	- 4³ = 3 × 4³ + 3 × 4 + 1
…
x = n →	(n + 1)³	- n³ = 3 × n³ + 3 × n + 1

위 n개의 식을 같은 변끼리 더해보죠. 좌변에서는 왼쪽에 있는 항과 바로 아래 식에 있는 오른쪽 항이 없어져요. 그러면 첫 번째 식의 - 1³과 마지막 식의 (n + 1)³만 남죠. 우변에서는 3과 제곱으로 이루어진 항들을 하나로 묶을 수 있고, 3과 숫자가 곱해진 항들을 묶을 수 있어요. 1은 n개가 있네요.

(n + 1)³ - 1³ = 3(1² + 2² + 3² + 4² + … + n²) + 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n) + n

우변의 괄호 안에 있는 숫자들의 합을 Σ를 이용해서 나타내고, 을 대입해보죠.

자연수 제곱의 합 공식을 유도하는 과정

자연수 세제곱의 합 공식

자연수 제곱의 합은 항등식 (x + 1)³ - x³라는 식을 이용해서 구했어요. 구하려고 하는 식은 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이었죠? 그럼 자연수의 세제곱의 합은 어떻게 구할까요? 세제곱의 합을 구하는 거니까 네제곱이 있는 식을 이용해요. (x + 1)⁴ - x⁴

(x + 1)⁴ - x⁴ = 4x³ + 6x² + 4x + 1

앞에서 했던 것처럼 x = 1, 2, 3, 4, …, n을 대입하고 같은 변끼리 더해서 정리하면 자연수의 세제곱 합 공식을 얻을 수 있어요.

자연수 거듭제곱의 합 공식

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + n = \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n + 1)}{2}$$
$$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + \cdots + n^{2} = \sum_{k=1}^{n}k^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$
$$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} + \cdots + n^{3} = \sum_{k=1}^{n}k^{3} = \left\{\frac{n(n + 1)}{2}\right\}^{2}$$

를 간단히 하여라.