등차수열의 합, 등비수열의 합에 이어 여러 가지 수열의 합이에요. 여기서는 시그마(∑)라는 새로운 기호와 표현법을 공부할 거예요. 시그마가 나타내는 것과 시그마와 관련된 숫자, 문자의 위치가 어디인지 잘 알아두세요. 물론 그 위치에 있는 문자와 숫자가 어떤 의미인지도 잘 알아야 하고요.
처음 보는 이상하게 생긴 기호라 많이 낯설 거예요. 새로운 기호를 공부하므로 기호를 식으로 식을 기호로 바꾸는 연습이 필요합니다. 어렵지는 않으니까 금방 할 수 있을 거예요.
여러 가지 수열의 합
이제까지 수열을 a1, a2, a3, a4, …, an - 1, an으로 표현했어요. 그리고 이 수열의 합 Sn은 공식을 이용해서 구했고요. 그런데 등차수열의 합, 등비수열의 합은 제1항부터 제n항까지의 합을 구했어요. 물론 공식을 잘 활용하면 다른 범위의 수열의 합을 구할 수도 있긴 있죠.
이제부터는 수열의 합을 표현하는 다른 방법을 알아보죠.
예를 들어 "제1항부터 제n항까지의 합을 구하라." 이 말을 간단하게 식으로 나타낼 수 있으면 편하겠죠? 이처럼 말로 길게 써야 하는 수열의 합을 쉽게 나타내는 방법이 있어요.
모양이 좀 이상하게 생겼죠? 저기 가운데 뾰족하게 생긴 걸 "시그마"라고 읽어요. 합이니까 영어로는 sum인데, 첫 글자 s에 해당하는 그리스 문자가 바로 시그마(∑)예요.
시그마를 제외한 나머지 자리에 번호를 붙여봤어요. 번호에 해당하는 내용이 어떤 건지 알아보죠.
①에는 문자가 들어가요. 문자는 k, i 등 어떤 거라도 상관없어요. 다만, 대게 n은 항의 순서를 나타내는 문자라서 n은 잘 사용하지 않아요.
②는 수열의 합을 구할 시작 항의 번호를 써요. 제1항부터 합을 구하려면 1, 제2항부터 합을 구하려면 2를 써요.
③은 수열의 합을 구할 마지막 항의 번호를 써요. 제100항까지 합을 구하려면 100, 제n항까지 합을 구하려면 n을 써요.
④는 수열의 일반항을 써요. 수열의 일반항에서는 n을 이용해서 an = (n에 대한 식)의 꼴이었죠? 여기서는 n이 아니어도 상관없는데 반드시 ①에서 사용했던 문자에 대한 식이어야 해요. ①이 k였다면 k에 대한 식, i였다면 i에 대한 식이어야 해요.
n은 항의 순서를 나타내니까 일반항을 나타내는 식에서는 n이라는 문자 대신 k라는 문자를 나타냈어요.
읽을 때는 "시그마 k가 1부터 n까지일 때, ak" 또는 "k가 1부터 n까지일 때, ak의 합"이라고 읽어요.
"일반항이 an인 수열의 제5항부터 제10항까지의 합을 구하여라."를 간단히 아래처럼 나타낼 수 있겠죠?
다음을 ∑를 사용하여 나타내어라.
(1) 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100
(2) 4 + 7 + 10 + … + 79 + 82
(1)은 자연수네요. 이 수열의 일반항은 an = n이에요. 1은 제1항이고 100은 제100항이죠? 그러니까 일반항이 n인 수열의 제1항부터 제100항까지 더하는 거네요.
(2)의 일반항을 구해보죠. d = a2 - a1 = 3, a1 = 4이므로 an = 4 + (n - 1) × 3 = 3n + 1
마지막 항이 82인데, 이게 몇 번째 항인지 알아야겠죠?
3n + 1 = 82
n = 27
일반항이 3n + 1인 수열의 제1항부터 제27항까지의 합을 구하는 거네요.
괄호를 빠뜨리지 않도록 주의하세요.
∑가 사용된 식
이번에는 거꾸로 수열의 합을 나타내는 식을 보고 그 값을 구해보죠.
일단 문자는 k고, 일반항이 k에 대한 식이에요. 시작 항은 2고 마지막 항은 5죠. 일반항이 (k + 1)인 수열의 제2항부터 제5항까지 더하라는 거예요.
an: (1 + 1), (2 + 1), (3 + 1), (4 + 1), (5 + 1), …, (n - 1 + 1), (n + 1)
a2 ~ a5까지 더하는 거니까 3 + 4 + 5 + 6 = 18이네요.
이처럼 수열을 쓰고 해당하는 항을 더할 수도 있지만, 더 쉽게 하려면 (k + 1)이라는 식의 k자리에 2부터 5까지 대입해서 얻은 항들을 더해서 바로 구할 수도 있어요.
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