등비수열의 합, 등비수열의 합 공식

등비수열에 대해서 알아봤으니까 이제는 등비수열의 합에 대해서 알아보죠.

등비수열의 합 공식은 등차수열의 합 구하는 공식과 유도 과정이 비슷하지만 달라요. 어떤 점이 다른지 잘 보세요. 등차수열의 합 공식은 두 가지가 있었는데, 사실은 같은 거였어요. 등비수열의 합 공식은 세 개인데 두 개는 서로 같고 하나는 다른 공식이에요. 공비에 따라 공식이 달라지는데 왜 그런지를 잘 이해하세요.

등차수열의 합 문제와 등비수열의 합 문제는 공식만 다를 뿐 거의 비슷해요. 그리고 공식을 적용해서 계산할 때 조금 더 쉽게 계산할 수 있는데, 이건 연습을 통해서 감을 익혀야 합니다.

등비수열의 합

등차수열의 합을 구할 때는 S_n을 원래 순서대로 한 번, 순서를 바꿔서 한 번 더해서 2로 나눠서 구했어요.

S_n = a + ar + ar² + ar³ + … + ar^{n - 2} + ar^{n - 1}
S_n = ar^{n - 1} + ar^{n - 2} + … + ar³ + ar² + ar + a

등차수열에서는 원래 순서대로 더한 것과 거꾸로 더한 것에서 같은 자리에 있는 항을 더하면 모두 값이 같았는데, 등비수열에서는 그렇지 않죠? 등비수열의 합은 다른 방법으로 구해요.

어떻게 하느냐면 순서를 거꾸로 바꿔서 더하는 대신에 S_n에 공비 r을 곱해서 빼는 거예요.

아래에 나온 것처럼 S_n에 공비 r을 곱하면 S_n의 제2항은 rS_n의 제1항과 같고, S_n의 제3항은 rS_n의 제2항과 같죠? 같으니까 그냥 빼면 없어져 버려요.

등비수열의 합 공식 유도

S_n - rS_n = (1 - r)S_n = a - arⁿ

r ≠ 1이면 양변을 (1 - r)로 나눌 수 있죠?

r = 1이면 양변을 나눌 수 없어요. 다른 방법을 찾아야 해요. 그냥 a_n를 죽 쓰고 더해보죠.

S_n = a + ar + ar² + … + ar^{n - 1}
= a + a + a + … + a (∵ r = 1)
= na

r ≠ 1일 때 공식은 일반항을 이용한 공식인데, 마지막 항 a_n = ar^{n - 1} = l이라고 하면 공식이 어떻게 바뀌는지 구해보죠.

을 전개해볼까요?

r ≠ 1일 때 2개의 공식, r = 1일 때 1개의 공식을 얻었어요.

제1항이 a, 공비가 r인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S_n

제1항이 a, 공비가 r, 마지막 항이 l인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S_n

다음 등비수열의 합을 구하여라.
(1) 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 제1항부터 제5항까지의 합
(2) 2, 4, 8, 16, 32, …, 1024
(3) 제1항부터 제3항까지의 합이 -3, 제1항부터 제6항까지의 합이 21일 때, 제1항부터 제9항까지의 합을 구하여라.

(1) 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 제1항부터 제5항까지의 합을 공식에 바로 대입해보죠.