등비수열에 대해서 알아봤으니까 이제는 등비수열의 합에 대해서 알아보죠.

등비수열의 합 공식은 등차수열의 합 구하는 공식과 유도 과정이 비슷하지만 달라요. 어떤 점이 다른지 잘 보세요. 등차수열의 합 공식은 두 가지가 있었는데, 사실은 같은 거였어요. 등비수열의 합 공식은 세 개인데 두 개는 서로 같고 하나는 다른 공식이에요. 공비에 따라 공식이 달라지는데 왜 그런지를 잘 이해하세요.

등차수열의 합 문제와 등비수열의 합 문제는 공식만 다를 뿐 거의 비슷해요. 그리고 공식을 적용해서 계산할 때 조금 더 쉽게 계산할 수 있는데, 이건 연습을 통해서 감을 익혀야 합니다.

등비수열의 합

등차수열의 합을 구할 때는 Sn을 원래 순서대로 한 번, 순서를 바꿔서 한 번 더해서 2로 나눠서 구했어요.

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + … + arn - 2 + arn - 1
Sn = arn - 1 + arn - 2 + … + ar3 + ar2 + ar + a

등차수열에서는 원래 순서대로 더한 것과 거꾸로 더한 것에서 같은 자리에 있는 항을 더하면 모두 값이 같았는데, 등비수열에서는 그렇지 않죠? 등비수열의 합은 다른 방법으로 구해요.

어떻게 하느냐면 순서를 거꾸로 바꿔서 더하는 대신에 Sn에 공비 r을 곱해서 빼는 거예요.

공비 r을 곱하면 Sn의 제1항은 rSn의 제2항과 같아지고, Sn의 제2항은 rSn의 제3항과 같아지죠? 같으니까 그냥 빼면 없어져 버려요.

 

등비수열의 합 공식 유도

Sn - rSn = (1 - r)Sn = a - arn

r ≠ 1이면 양변을 (1 - r)로 나눌 수 있죠?

r = 1이면 양변을 나눌 수 없어요. 다른 방법을 찾아야 해요. 그냥 an를 죽 쓰고 더해보죠.

Sn = a + ar + ar2 + … + arn - 1
    = a + a + a + … + a            (∵ r = 1)
    = na

r ≠ 1일 때 공식은 일반항을 이용한 공식인데, 마지막 항 an = arn - 1 = l이라고 하면 공식이 어떻게 바뀌는지 구해보죠.

을 전개해볼까요?

r ≠ 1일 때 2개의 공식, r = 1일 때 1개의 공식을 얻었어요.

제1항이 a, 공비가 r인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 Sn


제1항이 a, 공비가 r, 마지막 항이 l인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 Sn

다음 등비수열의 합을 구하여라.
(1) 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 제1항부터 제5항까지의 합
(2) 2, 4, 8, 16, 32, …, 1024
(3) 제1항부터 제3항까지의 합이 -3, 제1항부터 제6항까지의 합이 21일 때, 제1항부터 제9항까지의 합을 구하여라.

(1) 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 제1항부터 제5항까지의 합을 공식에 바로 대입해보죠.

121이네요.

(2) 2, 4, 8, 16, 32, …, 1024는 첫째항이 2이고 공비가 2 마지막 항이 1024인 등비수열이네요.

마지막 항이 있는 공식을 이용해 볼까요?

아니면 1024가 몇 번째 항인지부터 구해서 합을 얻을 수도 있어요.

2n = 1024 → n = 10

(3) 이게 어려운 문제예요. 풀이 과정을 잘 봐두세요.

제1항부터 제3항까지의 합이 -3을 식으로 나타내면

제1항부터 제6항까지의 합이 21을 식으로 나타내면

식이 두 개고 모르는 문자도 2개인데, 차수가 너무 커서 일반적인 연립방정식으로 풀기는 어려워요. 이때는 어떻게 하느냐면 식 하나를 인수분해한 다음 다른 식을 대입해요.

r = -2를 구했으니까 두 식 중 아무 식에나 대입해서 a를 구할 수도 있어요.

a와 r을 구했으니까 등비수열의 합 공식에 대입해보죠.

답은 -171이네요.

이 문제는 r = -2를 바로 구할 수 있는 문제고요. 때에 따라서는 r을 바로 구하지 못할 때도 있어요. 이때의 풀이법을 알아보죠.

r을 구했던 식으로 돌아가죠.

r3 + 1 = -7
r3 = -8

r = -2를 바로 구할 수 있지만 구할 수 없다고 가정하고 풀어볼게요.

제1항부터 제9항까지의 합을 식으로 나타내면

이 문제에서는 r3 = -8 → r = -2를 구할 수 있어서 이 과정이 굳이 필요 없지만, 문제에 따라서 r3 = -7처럼 r을 바로 구하지 못하는 경우가 있어요. 이럴 때에도 문제를 풀려면 위 과정을 이해해야 해요.

되게 어려운 문제인데, 문제에 나온 설명대로 식을 세우고, 한 식을 인수분해한 다음 다른 식을 대입하는 방법으로 풀어요.

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정리해볼까요

등비수열의 합

제1항이 a, 공비가 r인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 Sn
등비수열의 합 공식

제1항이 a, 공비가 r, 마지막 항이 l인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 Sn

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