등차수열에 이어 조화수열에 대해서 알아보죠. 조화수열은 등차수열과 아주 밀접한 관계가 있어요.

조화수열의 일반항을 구할 건데 이때 등차수열의 여러 성질을 이용합니다. 따라서 등차수열의 성질과 여러 내용을 잘 이해하고 있어야 해요.

조화중항이라는 것도 알아볼 거예요. 조화중항은 등차수열의 등차중항과 관계가 있으니까 등차중항에 대해서도 알고 있어야 하죠.

조화수열

등차수열은 첫째항에 일정한 수(공차)를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열이에요. 등차수열의 각 항의 역수로 이루어진 수열을 조화수열이라고 해요. 다시 말해 어떤 수열의 역수들이 등차수열을 이룰 때 이 수열을 조화수열이라고 하지요.

어떤 수열의 일반항을 an이라고 표현하니까 이 수열의 역수인 수열의 일반항은 이 되겠죠?

기준을 어디에 둘 것인가가 중요한데, 조화수열의 일반항을 an이라고 한다면 역수인 등차수열의 일반항은 이 될 것이고, 등차수열의 일반항을 an이라고 한다면, 조화수열의 일반항은 이 되는 거죠.

여기서는 조화수열이 중요하니까 조화수열의 일반항을 an, 그 역수로 된 등차수열의 일반항을 이라고 하죠.

조화수열: 수열의 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열
조화수열: a1, a2, a3, … , an, …
등차수얼:

조화수열의 일반항 구하기

조화수열의 역수가 등차수열이니까 이를 이용해서 조화수열의 일반항을 구해요.

제1항이 a1, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 an = a1 + (n - 1)d죠?

그런데 an는 조화수열의 일반항이니까 등차수열의 일반항은 역수인 로 나타낼 수 있어요. 또 조화수열의 제1항을 a1이라고 한다면 등차수열의 제1항은 이 되고요.

조화수열은 그 자체가 어떤 특징이 있는 게 아니라서 공차를 구할 수 없어요. 대신 역수인 등차수열에서는 공차를 구할 수 있죠. 공차는 등차수열에서 구하는데, 공차 d = a2 - a1로 구해요. 하지만 여기서도 a1, a2는 조화수열의 항을 나타내니까 그 역수를 이용해서 으로 구해요.

이걸 공식에 대입해보죠.

이건 조화수열의 일반항 an이 아니라 역수인 등차수열의 일반항 이에요. 이렇게 구한 결과의 양변을 역수로 취한 것이 우리가 구하려고 하는 조화수열의 일반항이에요.

조화수열의 일반항을 구하는 방법을 정리하면 아래와 같아요.

  1. 조화수열의 일반항 an의 역수를 취하여 등차수열 수열의 일반항 로 바꾼다.
  2. 등차수열의 일반항 공식을 이용하여 을 구한다.
  3. 등차수열의 일반항 의 역수를 취하여 조화수열의 일반항 an으로 바꾼다.

다음 조화수열의 일반항을 구하여라.
조화수열의 일반항 예제

조화수열이니까 그 역수가 등차수열을 이뤄요. 등차수열로 적어보죠.

첫째항이 2이고 공차 d = 4 - 2 = 2인 등차수열이네요.

등차수열의 일반항이 이니까 역수를 취하면 조화수열의 일반항은 이에요.

조화중항

등차수열에는 등차중항이라는 게 있었어요. 조화수열에도 조화중항이 있어요.

세 수 a, b, c가 차례로 조화수열을 이룰 때, b가 a, c의 조화중항이에요.

조화중항을 구하는 방법은 조화수열의 일반항 구할 때와 같아요. 역수를 취해서 등차중항을 구한 다음 다시 역수를 취해요.

역수를 취해보죠.

역수를 취하면 이 세 역수는 순서대로 등차수열을 이루고, 여기서 의 등차중항이에요. 등차중항은 두 수의 산술평균이죠?

세 수 a, b, c가 순서대로 조화수열을 이룰 때
조화중항
b는 a, c의 조화중항

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정리해볼까요

조화수열: 수열의 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열

조화수열의 일반항 구하는 방법

  1. 조화수열의 일반항 an의 역수를 취하여 등차수열 수열의 일반항 로 바꾼다.
  2. 등차수열의 일반항 공식을 이용하여 을 구한다.
  3. 등차수열의 일반항 의 역수를 취하여 조화수열의 일반항 an으로 바꾼다.

조화중항: 세 수 a, b, c가 순서대로 조화수열을 이룰 때, 조화중항이고, b는 a, c의 조화중항

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