등차중항, 등차수열 일반항의 성질

등차수열의 일반항에 대해서 조금 더 자세히 알아보죠.

등차수열의 일반항에서 식만 보고 별 계산 없이 곧바로 공차와 첫째항을 구할 수 있어요. 어떻게 이게 가능하지 알아볼 거예요. 어떤 일반항을 보고 이게 등차수열인지 아닌지 확인하는 방법도 알아볼 거고요.

그리고 등차중항이라는 것도 알아볼 건데, 등차중항의 뜻과 등차중항을 이용해서 등차수열을 구하는 방법까지 알아보죠.

등차수열 일반항의 성질

첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요. 전개해서 정리해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = dn + a - d
a_n = An + B

등차수열의 일반항은 a_n = An + B꼴로 쓸 수 있어요. 이게 무슨 말이냐면 n의 계수 A가 공차 d라는 거예요.

n = 1을 대입해서 제1항을 구해보죠.

a_n = An + B
a₁ = A + B

지금까지는 첫째항과 공차를 알면 등차수열의 일반항 a_n을 구했어요. 이제는 반대로 등차수열의 일반항을 알면 첫째항과 공차를 구할 수 있다는 뜻이에요.

등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 (n은 자연수)
공차 d = A
a₁ = A + B
등차수열의 일반항이 자연수 n에 대한 일차식일 때
공차 d = n의 계수
a₁ = (n의 계수) + (상수항)

등차수열의 일반항 a_n = 2n + 3일 때 첫째항과 공차를 구하여라. (n은 자연수)

첫째항을 n = 1을 대입해서 구할 수 있어요.

a₁ = 2 × 1 + 3 = 5

원래대로 공차를 구하려면 어떻게 할까요? a₂를 구해서 d = a₂ - a₁로 구하겠죠?

d = a₂ - a₁ = 2 × 2 + 3 - (2 × 1 + 3) = 7 - 5 = 2

첫째항은 5, 공차는 2네요.

공식으로 바로 구해보죠. 일반항이 자연수 n에 대한 일차식일 때 공차 d는 n의 계수, 첫째항은 (n의 계수) + (상수항)이에요.

a_n = 2n + 3 = An + B

공차 d = A = 2
첫째항 a₁ = A + B = 2 + 3 = 5

이런저런 계산할 필요없이 바로 구할 수 있죠?

등차수열 증명

등차수열이라는 말없이 그냥 일반항만 알려줬을 때 이 수열이 등차수열인지 아닌지 알 수 있을까요?

어떤 수열의 일반항이 a_n = 3n + 1일 때 이 수열은 등차수열일까요? 아닐까요?

등차수열인지 알아보는 가장 기본은 공차가 있는지 알아보는 거예요. 공차는 한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이를 비교해보면 되죠? 등차수열은 한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 일정한데 이걸 식으로 나타내면 a_{n + 1} - a_n = d에요. 이 d가 공차죠.

a_{n + 1} - a_n
3 × (n + 1) + 1 - (3 × n + 1)
= 3n + 3 + 1 - 3n - 1
= 3

n + 1항과 바로 앞 n항의 차이가 상수 3으로 일정해요. 따라서 이 수열은 등차수열이에요.

일반항 a_n이 주어졌을 때 등차수열인지 알아보는 방법
한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 일정하면 등차수열
a_{n + 1} - a_n = d

위에서 했던 등차수열 일반항의 성질과 묶어서 생각해보죠. 일반항이 a_n = 3n + 1로 자연수 n에 대한 1차식이에요. 그러니까 공차는 n의 계수인 3이고 첫째항은 (3 + 1) = 4인 등차수열인 거죠.

등차중항

세 수 a, b, c가 있다고 해보죠. 세 수가 이 순서대로 등차수열을 이룬다면 어떤 조건이 있어야 할까요?

한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 같아야 해요.

b - a = c - b
2b = a + c

가운데 있는 b가 앞과 뒤에 있는 a, c의 산술평균이면 세 수가 순서대로 등차수열을 이뤄요. 이때 b를 a와 c의 등차중항이라고 해요. 두 항의 가운데 있는 항이니까 중항이죠.

등차수열 1, 3, 5, 7, 9, …에서 1과 5의 등차중항은 3이고, 5와 9의 등차중항은 7이에요.

세 수 a, b, c가 순서대로 등차수열을 이룰 때

b는 a, c의 등차중항 (a와 c의 산술평균)

다음 세 수가 순서대로 등차수열일 때, x를 구하여라.
(1) 5, x, 13
(2) 8, 3x, x²

숫자가 3개밖에 안되니까 그냥 구할 수도 있겠지만 등차중항을 이용해서 문제를 풀어보죠.

(1)에서는 x가 5와 13의 등차중항이에요. 등차중항은 산술평균이죠?

(2)에서는 3x가 8과 x²의 등차중항이에요.

등차중항 예제 풀이 2

x = 2 or 4

8, 6, 4 또는 8, 12, 16인 등차수열이네요.