등비수열, 등비수열의 일반항, 등비중항

이제까지 등차수열을 공부했는데, 이제는 등비수열에 대해서 공부할 거예요.

이름만 잘 봐도 둘의 차이를 알 수 있어요. 등차수열과 등비수열에서 다른 건 "차"가 "비"로 바뀐 것뿐이에요. 이 점만 잘 생각해보면 등차수열에서 했던 내용을 바탕으로 해서 쉽게 공부할 수 있어요.

등차수열에서도 등차수열의 뜻과 일반항, 등차중항을 공부했듯이 여기서도 등비수열의 뜻과 등비수열의 일반항, 등비중항에 대해서 알아보죠.

등비수열

1, 2, 4, 8, 16, …은 어떤 특징이 있나요? 바로 앞항에 2를 곱해서 얻어지는 항을 죽 적어놓은 수열이에요.

등차수열은 첫째항에 일정한 수를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열이라면 등비수열은 첫째항에 일정한 수를 곱해서 얻은 항으로 이루어진 수열이에요.

등차수열에서 더해지는 일정한 수를 공차라고 하죠? 등비수열에서 곱해지는 일정할 수를 공비라고 해요. 공차는 공통된 차이, 공비는 공통된 비를 뜻하죠. 등차수열에서 등비수열로 바뀐 것처럼 공차도 공비로 바뀌었어요.

1, 2, 4, 8, 16, …을 보죠.

제1항 = 1
제2항 = 제1항 × 2 = 2
제3항 = 제2항 × 2 = 4
제4항 = 제3항 × 2 = 8

여기서는 각 항에 2를 곱해서 새로운 항을 얻었으니까 공비는 2이에요.

등비수열에서 등비(等比)는 비가 같다는 말이에요. 제1항과 제2항의 비, 제2항과 제3항의 비, …, 제(n - 1)항과 제n항의 비, …가 같아요. 이 비가 바로 공비예요. 보통 비는 비례로 나타내기도 하지만 분수로 나타내기도 하죠? 여기서는 비를 분수를 이용해서 구해요.

다시 1, 2, 4, 8, 16, …을 보죠.

각 항과 바로 앞의 항의 비가 모두 2로 같아요. 그러니까 공비가 2인 거죠.

등비수열은 Geometric Progression을 줄여서 G.P라고 하고 공비(Common Ratio)는 r이라고 나타내요.

주의할 점은 첫째항 a₁ ≠ 0이에요. 첫째항이 0이라면 어떤 수를 곱해도 모든 항이 다 0이 되어버리죠. 그리고 공비 ≠ 0이에요. 공비가 0이라면 첫째항이 어떤 항이더라도 나머지 모든 항이 0이 되어버려요. 따라서 별다른 얘기가 없다면 등비수열에서 첫째항 a₁과 공비 r은 0이 아니에요. 첫째항과 공비가 0이 아니니까 모든 항이 0이 아니겠죠?

등비수열: 첫째항에 일정한 수를 곱해서 얻어진 항으로 이루어진 수열
공비(r): 각 항에 곱해지는 일정한 수

(단, a₁ ≠ 0, r ≠ 0)

등비수열의 일반항

수열의 일반항을 a_n으로 나타내니까 위 내용을 a_n으로 써보죠. r은 공비고, n은 항의 순서니까 자연수예요.

a₁ = a₁
a₂ = a₁ × r
a₃ = a₂ × r = (a₁ × r) × r = a₁ × r²
a₄ = a₃ × r = (a₁ × r²) × r = a₁ × r³
a₅ = a₄ × r = (a₁ × r³) × r = a₁ × r⁴
a_n = a_{n - 1} × r = {a₁ × r^{(n - 2)}} × r = a₁ × r^{(n - 1)}

마지막 줄을 보면 등비수열의 일반항 a_n = a₁ × r^{n - 1}라는 걸 알 수 있어요. 첫째항과 공비를 알면 등비수열의 일반항을 구할 수 있다는 거예요.

첫째항이 a, 등비가 r인 등비수열의 일반항
a_n = ar^{n - 1} (단, n은 자연수)

다음 등비수열의 일반항을 구하여라.
(1) a₁ = 20, r = -2
(2) a₂ = -10, a₅ = 10
(3) 2, 6, 18, 54, 162, …

제1항이 a이고 공비가 r인 등비수열의 일반항은 a_n = ar^{n - 1}이에요.

(1) 제1항과 공비를 알려줬네요. 공식에 바로 넣어보죠.

a_n = ar^{n - 1}
a_n = 20 × (-2)^{(n - 1)} = 5 ×(-2)² × (-2)^{n - 1} = 5 × (-2)^{n + 1}

(2)번은 공비를 알려주지 않았네요. 두 번째 항과 다섯 번째 항을 알려줬어요. 이 두 항을 일반항 공식에 넣어서 공비를 구해보죠.

a_n = ar^{n - 1}
a₂ = ar^{2 - 1} = -10
ar = -10

a_n = ar^{n - 1}
a₅ = ar^{5 - 1} = 10
ar⁴ = 10

두 식을 나누면 r³ = -1 → r = -1

r = -1을 대입하면 a = 10이 나와요.

a_n = ar^{n - 1}
a_n = 10 × (-1)^{n - 1}

(3)번은 그냥 수열을 그대로 적어줬네요. 공비는 연속된 항 두 개를 아무거나 골라서 앞의 항을 뒤의 항으로 나눠주면 구할 수 있어요.

제1항이 2, 공비가 3이네요.

a_n = ar^{n - 1}
a_n = 2 × 3^{n - 1}

등비수열 3, 9, 27, 81, …에서 처음으로 10,000보다 커지는 항은 몇 번째 항인지 구하여라. (단, log3 = 0.4771)

먼저 일반항을 구해야겠네요.

a_n= ar^{n - 1} = 3 × 3^{n - 1} = 3ⁿ

3ⁿ이 10,000보다 클 때니까 부등식을 세워보죠.

n은 자연수니까 8.3840보다 큰 9일 때 10,000보다 크네요. 따라서 답은 제9항입니다.

등비중항

등차중항은 세 수 a, b, c가 순서대로 등차수열을 이룰 때 가운데 b가 a, c의 등차중항이고 였어요.

등비중항은 세 수 a, b, c가 순서대로 등비수열을 이룰 때 가운데 b가 a, c의 등비중항이에요.

공비를 r이라고 하면 b = ar, c = br이죠.

등비중항
세 수 a, b, c가 순서대로 등비수열을 이룰 때, b는 a, c의 등비중항
b² = ac