수열은 지금까지 한 번도 본 적이 없는 새로운 단원이에요. 따라서 처음 보는 용어들이 많이 나와요. 용어의 뜻과 그 의미를 제대로 이해하고 넘어가야 해요.
좋은 점이라면 다른 단원에 대해서 이해가 부족해도 새롭게 시작할 수 있다는 거지요. 방정식을 몰라도 함수를 몰라도 수열을 공부하는 데는 전혀 지장이 없어요.
이번 글에서는 수열에서 사용하는 기본적인 용어인 항, 일반항의 뜻에 대해서 알아볼 거예요. 앞으로 수열 단원에서 계속 사용할 용어니까 머리 속에 팍팍 집어넣으세요.
수열
1, 2, 3, 4, 5, 6, …는 자연수를 그냥 쭉 써놓은 거죠. 1, 3, 5, 7, 9, …는 홀수, 2, 4, 6, 8, 10, …은 짝수를 그냥 쭉 써놓은 거예요.
이처럼 어떤 규칙에 따라서 숫자들을 늘어놓은 걸 수열이라고 해요.
1, 4, 7, 10, 13, …은 앞의 숫자보다 3이 큰 숫자를 계속 적어놓은 수열이고, 1, 2, 4, 8, 16, 32, …는 앞의 숫자보다 2배 큰 숫자를 계속 적어놓은 수열이죠.
수열을 이루고 있는 숫자들 하나하나를 항이라고 해요. 그리고 제일 앞에 있는 항을 제1항(첫째항), 두 번째에 있는 항을 제2항(둘째항), 세 번째 있는 항을 제3항(세째항), n번째 있는 항을 제n항(n번째 항)이라고 해요. 여기서 n은 항이 있는 자릿수로 자연수예요.
제1항을 기호로 a1이라고 하고, 제2항은 a2, 제3항은 a3, 제n항은 an로 표시해요.
a1, a2, a3, a4, …, an, …
1, 3, 5, 7, 9, …를 보죠.
첫 번째에 있는 항 = 제1항 = a1 = 1
두 번째에 있는 항 = 제2항 = a2 = 3
세 번째에 있는 항 = 제3항 = a3 = 5
네 번째에 있는 항 = 제4항 = a4 = 7
다섯 번째에 있는 항 = 제5항 = a5 = 9
n 번째에 있는 항 = 제n항 = an = 2n - 1
집합에서 원소의 개수가 유한개인 집합을 유한집합, 원소의 개수가 무수히 많아서 셀 수 없는 집합을 무한집합이라고 하죠? 소수에서 소수점 아래 숫자의 개수가 유한개인 소수를 유한소수, 소수점 아래 숫자가 끝도 없이 계속되면 무한소수라고 하고요.
수열에서도 항의 개수가 유한개인 수열을 유한수열, 항이 끝도 없이 계속되어 수를 셀 수 없는 수열을 무한수열이라고 해요. 유한수열에서 마지막 항을 끝항이라고 해요. 무한수열은 끝을 알 수 없으니 끝항이라는 게 없겠죠?
수열에서 제n항 an를 알려주면 n = 1, 2, 3…을 대입해서 모든 항을 구할 수 있죠? 그래서 an을 일반항이라고 해요. 그리고 일반항이 an인 수열을 간단히 {an}이라고도 나타내요.
수열: 어떤 규칙에 따라 숫자들을 늘어놓은 것
항: 수열을 이루고 있는 숫자 하나하나
유한수열: 항의 개수가 유한개인 수열
무한수열: 항이 끝도 없이 계속되어 항의 수를 셀 수 없는 수열
끝항: 유한수열에서 제일 마지막 항
an: 제 n 번째 항, 일반항 (n은 자연수)
{an}: 일반항이 an인 수열
다음을 구하여라.
(1) 일반항이 2 × 3n - 1인 수열의 첫 번째 항부터 다섯 번째 항까지
(3) 2, 4, 6, 8, 10, 12, …인 수열의 n 번째 항과 10번째 항
(1) 일반항 an = 2 × 3n - 1일 때, n = 1, 2, 3, 4, 5를 대입해서 그 값을 구하면 그게 항이에요.
n = 1일 때: a1 = 2 × 31 - 1 = 2
n = 2일 때: a2 = 2 × 32 - 1 = 6
n = 3일 때: a3 = 2 × 33 - 1 = 18
n = 4일 때: a4 = 2 × 34 - 1 = 54
n = 5일 때: a5 = 2 × 35 - 1 = 162
이 수열은 무한수열인데, 다섯 번째 항까지만 구하라고 했으니까 답은 2, 6, 18, 54, 162에요.
(2)번은 규칙을 찾아야겠네요. 이 수열은 짝수의 수열이에요. an = 2n이죠?
n = 10일 때, a10 = 20
따라서 an = 2n, a10 = 20