이번 글에서는 등차수열의 각 항을 더한 등차수열의 합을 구할 거예요.
아주 간단히 생각만 살짝 바꾸면 등차수열의 합 공식을 유도할 수 있어요. 방법은 어렵지 않으니까 그 원리를 금방 이해할 수 있을 거예요. 등차수열의 합 공식은 두 가지예요. 사실은 한 가지인데, 등차수열에서 어떤 조건을 알려주느냐에 따라 모양이 다르니까 둘의 차이를 잘 비교하세요.
문제를 활용하기에 따라서 쉬운 문제와 어려운 문제의 수준 차이가 많이 나니까 문제를 풀 때 집중해서 잘 봐야 해요.
등차수열의 합
등차수열 1, 2, 3, 4, 5, …, 10을 이루는 항들의 합을 구해볼까요?
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 …… ①
바로 계산할 수도 있는데 우변의 순서를 거꾸로 해보죠.
S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 …… ②
순서를 바꿔놓고 봤더니
①식의 제1항 1과 ②식의 제1항 10을 더하면 11
①식의 제2항 2와 ②식의 제2항 9를 더하면 11
①식의 제3항 3과 ②식의 제3항 8을 더하면 11
①식의 제10항 10과 ②식의 제10항 1을 더하면 11
①과 ②식은 총 열 개의 항으로 되어 있는데 같은 순서에 있는 항끼리 더하면 모두 11로 같아요. 11인 항이 10개 있으니까 그 합은 11 × 10이에요. 그런데 이건 S가 아니라 2S죠. 2로 나눠주면 S = 1 + 2 + 3 + … + 8 + 9 + 10을 구할 수 있어요.
식으로 정리해보죠. ①과 ② 두 식을 더해요.
① + ②
2S = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + … + (8 + 3) + (9 + 2) + (10 + 1)
2S = 11 + 11 + 11 + … + 11 + 11 + 11
2S = 11 × 10
S = 55
1부터 10까지 자연수를 모두 더하면 55가 나와요.
더해야 하는 항의 순서를 거꾸로 해서 한 번 더 더하면 그냥 더하는 것보다 훨씬 더 계산이 쉬워져요.
이번에는 등차수열 an의 제1항부터 제n항까지 합을 구하는데 그 합을 Sn이라고 해보죠.
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an - 1 + an
첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 an = a + (n - 1)d이죠? 그리고 합을 구하는 마지막 제n항 an을 l이라고 해보죠.
a1 = a
a2 = a + d
a3 = a + 2d
a4 = a + 3d
an - 1 = a + (n - 2)d = l - d
an = a + (n - 1)d = l
위 내용을 Sn에 대입해요.
Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (l - 2d) + (l - d) + l …… ③
우변은 a1부터 an까지 순서대로 더하는 건데 이 순서를 거꾸로 해볼까요?
Sn = l + (l - d) + (l - 2d) + … + (a + 2d) + (a + d) + a …… ④
두 식을 더해보죠.
제1항부터 제n항까지의 합을 구했어요.
원래 마지막 항 l = an = a + (n - 1)d니까 대입해보면,
등차수열의 합 공식을 두 개 얻었어요. 처음 공식은 n, a, l로 이루어져 있죠? 첫째항과 마지막 항을 알 때 사용하는 공식이에요. 두 번째 공식은 n, a, d로 이루어져 있으니까 첫째항과 공차를 알 때 사용하는 공식이에요.
등차수열의 제1항부터 제n항까지의 합 Sn
첫째항이 a, 마지막 항이 l일 때:
첫째항이 a, 공차가 d일 때:
다음을 구하여라.
(1) 제10항이 17, 제20항이 37인 등차수열의 제1항부터 제20항까지의 합
(2) 두 자리 자연수 중에서 2의 배수 또는 5의 배수의 합
(3) 제1항부터 제10항까지의 합이 120, 제11항부터 제20항까지의 합이 320인 등차수열의 제21항부터 제30항까지의 합
(1)번에서 합을 구하는 끝항을 알려줬어요. 첫 항만 구하면 되겠네요.
a10 = a + 9d = 17
a20 = a + 19d = 37
연립해서 풀어보면 d = 2, a = -1이 나와요.
합을 구하는 등차수열의 첫 항과 끝항을 알았으니까 공식에 대입해보죠.
답은 360이네요.
(2) 두 자리 자연수니까 10 ~ 99까지의 자연수예요.
2의 배수인 수열: 10, 12, 14, …, 96, 98
5의 배수인 수열: 10, 15, 20, …, 90, 95
2의 배수이면서 5의 배수인 수열: 10, 20, 30, …, 80, 90
(2의 배수 또는 5의 배수의 합) = (2의 배수의 합) + (5의 배수의 합) - (10의 배수의 합)
집합으로 표시하면 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)이에요.
2의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 98, 공차는 2예요. 등차수열의 합 공식을 이용하려면 항이 몇 개인지 구해야겠네요.
an = a + (n - 1)d
98 = 10 + (n - 1) × 2
98 = 10 + 2n - 2
n = 45
2의 배수의 수열의 합 =
5의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 95, 공차는 5예요. 항의 수를 구해보죠.
an = a + (n - 1)d
95 = 10 + (n - 1) × 5
95 = 10 + 5n - 5
n = 18
5의 배수의 수열의 합 =
10의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 90, 공차는 10이에요. 항의 수를 구해보죠.
an = a + (n - 1)d
90 = 10 + (n - 1) × 10
90 = 10 + 10n - 10
n = 9
10의 배수의 수열의 합 =
(2의 배수 또는 5의 배수의 합) = (2의 배수의 합) + (5의 배수의 합) - (10의 배수의 합)
= 2430 + 945 - 450
= 2925
(3)번은 어려운 문제니까 집중해서 잘 보세요.
제1항부터 제10항까지, 제11항부터 제20항까지, 제21항부터 제30항까지 세 개의 식을 세워야 해요.
제1항부터 제10항까지 합이 120이니까 이걸 이용해서 식을 세워보죠.
첫째항이 a, 공차가 d일 때 등차수열의 합:
제11항부터 제20항까지의 합은 제11항을 제1항으로 하고, 제20항을 제10항으로 하는 새로운 등차수열 bn을 생각할 수 있겠죠?
b1 = a11 = a + 10d
b10 = a20 = a + 19d
(a11 ~ a20까지의 합) = (b1 ~ b10까지의 합)
a와 d에 대한 연립방정식이 되었어요.
a = 3, d = 2가 나오네요.
a21 = c1, a30 = c10인 새로운 수열 cn을 이용해서 제21항부터 제30항까지의 합을 구해보죠.
(a21 ~ a30까지의 합) = (c1 ~ c10까지의 합)
c1 = a21 = a + 20d = 3 + 20 × 2 = 43
c10 = a30 = a + 29d = 3 + 29 × 2 = 61
제21항부터 제30항까지의 합은 520이네요.
이걸 새로운 수열 bn, cn를 생각하지 않고 조금 다르게 풀어볼까요? 합과 합의 관계를 이용하는 거예요.
제1항부터 제10항까지의 합은 위에서와 똑같이 구해요.
제11항부터 제20항까지의 합을 구하는 과정을 아래처럼 생각할 수 있겠죠?
(a11 ~ a20까지의 합) = (a1 ~ a20까지의 합) - (a1 ~ a10까지의 합)
마찬가지로 a와 d에 대한 연립방정식을 만들 수 있어요.
여기서도 a = 3, d = 2가 나와요.
마지막 제21항부터 제30항까지의 합을 구하는 과정도 위처럼 합을 이용해서 나타낼 수 있어요.
(a21 ~ a30까지의 합)
= (a1 ~ a30까지의 합) - (a1 ~ a20까지의 합)
답은 똑같이 520이 나와요.
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