등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계

등차수열의 합 공식을 알아봤는데요. 여기서는 이 등차수열의 합 공식을 이용해서 등차수열을 구하는 방법을 알아볼 거예요. 이렇게 구한 등차수열은 어떤 특징을 가졌는지 알아보죠. 특히 등차수열의 합으로 구한 일반항에서 제1항부터 등차수열이 아닌 경우도 있으니까 이 부분을 주의해서 보세요.

그리고 등차수열의 일반항의 성질에서 일반항의 모양만 보고 공차와 제1항을 구할 수 있었죠? 마찬가지로 등차수열의 합 공식을 보고 공차와 제1항을 바로 구할 수 있어요. 어떻게 구하는지 알아보죠.

등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계

등차수열의 각 항을 하나씩 늘려가면서 그 합을 구해보죠.

S₁ = a₁
S₂ = a₁ + a₂ = S₁ + a₂
S₃ = a₁ + a₂ + a₃ = S₂ + a₃
S_n = a₁ + a₂ + … + a_n = S_{n - 1} + a_n

마지막 줄을 보죠.

S_n = S_{n - 1} + a_n
a_n = S_n - S_{n - 1}

등차수열의 합을 이용해서 등차수열의 일반항을 구할 수 있어요.

이 내용을 수식으로 표현하면 아래처럼 되겠죠?

그림으로 표현해볼까요?

근데 여기서 n, n - 1은 항의 수니까 양수여야 해요. n > 0, n - 1 > 0로 n > 1인 자연수 즉, n ≥ 2여야 하죠. n = 1이 빠져있으니까 일단 여기서는 제2항부터 등차수열이라는 것만 확인할 수 있어요.

그럼 제1항부터 등차수열인지 확인하려면 어떻게 해야 할까요?

a_n에 n = 1을 대입해서 S₁와 값이 같으면 제1항을 일반항으로 표시할 수 있으니까 이 수열은 제1항부터 등차수열이에요. 만약에 a_n에 n = 1을 대입한 값과 S₁의 값이 다르면 제1항을 일반항으로 표시할 수 없다는 뜻으로 이 수열은 제2항부터 등차수열이에요.

등차수열 제1항부터 제n항까지의 합이 S_n일 때
a₁ = S₁
a_n = S_n - S_{n - 1}   (n ≥ 2)
(a_n에 n = 1을 대입) = S₁ → 제1항부터 등차수열
(a_n에 n = 1을 대입) ≠ S₁ → 제2항부터 등차수열

제1항이 a, 공차가 d일 때, 제1항부터 제n항까지의 등차수열의 합은 이에요. 전개해서 정리해보죠.

S_n을 전개해서 정리했더니 n에 대한 이차식이라는 걸 알 수 있어요. 상수항은 0이고요.

특히 2차항의 계수 A = 예요. 공차 d는 (이차항의 계수) ×2죠. 2A = d

a₁ = S₁인데 S₁ = A + B고요.

등차수열 일반항의 성질에서 등차수열의 일반항 a_n = An + B꼴로 n에 대한 일차식이라고 했어요. n의 계수가 공차 d고 제1항은 A + B였죠? 함께 외워두면 좋아요.

• 등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 (n은 자연수)
  공차 d = A
  a₁ = A + B
• 등차수열의 합 S_n = An² + Bn일 때 (n은 자연수)
  공차 d = 2A
  a₁ = S₁ = A + B

등차수열의 합 S_n = 2n² + 3n일 때 일반항 a_n과 제1항을 구하여라.

제n항 a_n = S_n - S_{n - 1}이에요. 대입해보죠.

a_n = S_n - S_{n - 1}
    = 2n² + 3n - {2(n - 1)² + 3(n - 1)}
    = 2n² + 3n - (2n² - 4n + 2 + 3n - 3)
    = 2n² + 3n - 2n² + n + 1
    = 4n + 1

일반항 a_n = 4n + 1 (n ≥ 2)이에요.

제1항 a₁ = S₁이므로 a₁ = S₁ = 2 + 3 = 5

등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 공차 d = A = 4, 등차수열의 합 S_n = An² + Bn에서 공차 d = 2A = 2 × 2 = 4인 것도 추가로 확인할 수 있어요.

a_n = 4n + 1에 n = 1을 대입하면 a₁ = 5로 S₁과 같아요. 따라서 이 수열은 제1항부터 등차수열이에요.

등차수열의 합 S_n = 2n² + 3n + 4일 때 일반항 a_n과 제1항을 구하여라.

위 예제와 다른 점이 보이나요? 위에서는 S_n에서 상수항이 0이었는데 여기서는 4예요.

방법은 똑같으니까 한번 해보죠.

a_n = S_n - S_{n - 1}
    = 2n² + 3n + 4 - {2(n - 1)² + 3(n - 1) + 4}
    = 2n² + 3n + 4 - (2n² - 4n + 2 + 3n - 3 + 4)
    = 2n² + 3n + 4 - 2n² + n - 3
    = 4n + 1

일반항 a_n = 4n + 1 (n ≥ 2)이에요.

제1항 a₁ = S₁이므로 a₁ = S₁ = 2 + 3 + 4 = 9

a_n = 4n + 1에 n = 1을 대입하면 a₁ = 5 ≠ S₁ = 9죠? 따라서 이 수열은 제2항부터 등차수열인 수열이에요.

S_n에서 상수항 = 0이면 제1항부터 등차수열, 상수항 ≠ 0이면 제2항부터 등차수열이에요.

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정리해볼까요

등차수열의 합과 일반항의 관계

• 등차수열 제1항부터 제n항까지의 합이 S_n일 때
• a₁ = S₁
• a_n = S_n - S_{n - 1}   (n ≥ 2)
• (a_n에 n = 1을 대입) = S₁ → 제1항부터 등차수열
• (a_n에 n = 1을 대입) ≠ S₁ → 제2항부터 등차수열

등차수열의 합과 일반항의 성질

• 등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 (n은 자연수)
  공차 d = A
  a₁ = A + B
• 등차수열의 합 S_n = An² + Bn일 때 (n은 자연수)
  공차 d = 2A
  a₁ = S₁ = A + B

등차수열의 합

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조화수열, 조화중항