등차수열의 합 공식을 알아봤는데요. 여기서는 이 등차수열의 합 공식을 이용해서 등차수열을 구하는 방법을 알아볼 거예요. 이렇게 구한 등차수열은 어떤 특징을 가졌는지 알아보죠. 특히 등차수열의 합으로 구한 일반항에서 제1항부터 등차수열이 아닌 경우도 있으니까 이 부분을 주의해서 보세요.

그리고 등차수열의 일반항의 성질에서 일반항의 모양만 보고 공차와 제1항을 구할 수 있었죠? 마찬가지로 등차수열의 합 공식을 보고 공차와 제1항을 바로 구할 수 있어요. 어떻게 구하는지 알아보죠.

등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계

등차수열의 각 항을 하나씩 늘려가면서 그 합을 구해보죠.

S1 = a1
S2 = a1 + a2 = S1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3 = S2 + a3
Sn = a1 + a2 + … + an = Sn - 1 + an

마지막 줄을 보죠.

Sn = Sn - 1 + an
an = Sn - Sn - 1

등차수열의 합을 이용해서 등차수열의 일반항을 구할 수 있어요.

이 내용을 수식으로 표현하면 아래처럼 되겠죠?

등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계 1

그림으로 표현해볼까요?

등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계 2

근데 여기서 n, n - 1은 항의 수니까 양수여야 해요. n > 0, n - 1 > 0로 n > 1인 자연수 즉, n ≥ 2여야 하죠. n = 1이 빠져있으니까 일단 여기서는 제2항부터 등차수열이라는 것만 확인할 수 있어요.

그럼 제1항부터 등차수열인지 확인하려면 어떻게 해야 할까요?

an에 n = 1을 대입해서 S1와 값이 같으면 제1항을 일반항으로 표시할 수 있으니까 이 수열은 제1항부터 등차수열이에요. 만약에 an에 n = 1을 대입한 값과 S1의 값이 다르면 제1항을 일반항으로 표시할 수 없다는 뜻으로 이 수열은 제2항부터 등차수열이에요.

등차수열 제1항부터 제n항까지의 합이 Sn일 때
a1 = S1
an = Sn - Sn - 1   (n ≥ 2)
(an에 n = 1을 대입) = S1 → 제1항부터 등차수열
(an에 n = 1을 대입) ≠ S1 → 제2항부터 등차수열

제1항이 a, 공차가 d일 때, 제1항부터 제n항까지의 등차수열의 합이에요. 전개해서 정리해보죠.

Sn을 전개해서 정리했더니 n에 대한 이차식이라는 걸 알 수 있어요. 상수항은 0이고요.

특히 2차항의 계수 A = 예요. 공차 d는 (이차항의 계수) ×2죠. 2A = d

a1 = S1인데 S1 = A + B고요.

등차수열 일반항의 성질에서 등차수열의 일반항 an = An + B꼴로 n에 대한 일차식이라고 했어요. n의 계수가 공차 d고 제1항은 A + B였죠? 함께 외워두면 좋아요.

  • 등차수열의 일반항 an = An + B일 때 (n은 자연수)
    공차 d = A
    a1 = A + B
  • 등차수열의 합 Sn = An2 + Bn일 때 (n은 자연수)
    공차 d = 2A
    a1 = S1 = A + B

등차수열의 합 Sn = 2n2 + 3n일 때 일반항 an과 제1항을 구하여라.

제n항 an = Sn - Sn - 1이에요. 대입해보죠.

an = Sn - Sn - 1
    = 2n2 + 3n - {2(n - 1)2 + 3(n - 1)}
    = 2n2 + 3n - (2n2 - 4n + 2 + 3n - 3)
    = 2n2 + 3n - 2n2 + n + 1
    = 4n + 1

일반항 an = 4n + 1 (n ≥ 2)이에요.

제1항 a1 = S1이므로 a1 = S1 = 2 + 3 = 5

등차수열의 일반항 an = An + B일 때 공차 d = A = 4, 등차수열의 합 Sn = An2 + Bn에서 공차 d = 2A = 2 × 2 = 4인 것도 추가로 확인할 수 있어요.

an = 4n + 1에 n = 1을 대입하면 a1 = 5로 S1과 같아요. 따라서 이 수열은 제1항부터 등차수열이에요.

등차수열의 합 Sn = 2n2 + 3n + 4일 때 일반항 an과 제1항을 구하여라.

위 예제와 다른 점이 보이나요? 위에서는 Sn에서 상수항이 0이었는데 여기서는 4예요.

방법은 똑같으니까 한번 해보죠.

an = Sn - Sn - 1
    = 2n2 + 3n + 4 - {2(n - 1)2 + 3(n - 1) + 4}
    = 2n2 + 3n + 4 - (2n2 - 4n + 2 + 3n - 3 + 4)
    = 2n2 + 3n + 4 - 2n2 + n - 3
    = 4n + 1

일반항 an = 4n + 1 (n ≥ 2)이에요.

제1항 a1 = S1이므로 a1 = S1 = 2 + 3 + 4 = 9

an = 4n + 1에 n = 1을 대입하면 a1 = 5 ≠ S1 = 9죠? 따라서 이 수열은 제2항부터 등차수열인 수열이에요.

Sn에서 상수항 = 0이면 제1항부터 등차수열, 상수항 ≠ 0이면 제2항부터 등차수열이에요.

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정리해볼까요

등차수열의 합과 일반항의 관계

  • 등차수열 제1항부터 제n항까지의 합이 Sn일 때
  • a1 = S1
  • an = Sn - Sn - 1   (n ≥ 2)
  • (an에 n = 1을 대입) = S1 → 제1항부터 등차수열
  • (an에 n = 1을 대입) ≠ S1 → 제2항부터 등차수열

등차수열의 합과 일반항의 성질

  • 등차수열의 일반항 an = An + B일 때 (n은 자연수)
    공차 d = A
    a1 = A + B
  • 등차수열의 합 Sn = An2 + Bn일 때 (n은 자연수)
    공차 d = 2A
    a1 = S1 = A + B
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