등비수열의 합과 등비수열의 일반항의 관계는 등차수열의 합과 등차수열 일반항의 관계에서 했던 내용의 반복이에요. 수열만 등차수열에서 등비수열로 바뀐 것뿐이에요.

등차수열의 합을 나타내는 식을 보면 등차수열의 제1항과 공차를 바로 구할 수 있었죠? 여기서도 등비수열의 합을 나타내는 식을 보고 등비수열의 공비를 바로 구하는 방법을 알아볼 거예요. 더 나아가 등비수열의 일반항을 바로 구하는 공식도 공부할 거고요.

합에 대한 식만 주어졌을 때 이 식이 등비수열의 합을 나타내는 식인지 아는 방법도 알아볼 거예요.

등비수열의 합과 등비수열 일반항의 관계

등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계에서 했던 것처럼 등비수열의 각 항을 하나씩 늘려가면서 그 합을 구해보죠.

S1 = a1
S2 = a1 + a2 = S1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3 = S2 + a3
Sn = a1 + a2 + … + an = Sn - 1 + an

마지막 줄을 보죠.

Sn = Sn - 1 + an
an = Sn - Sn - 1

등비수열의 합을 이용해서 등비수열의 일반항을 구할 수 있어요.

등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계 2

근데 여기서 n, n - 1은 항의 수니까 양수여야 해요. n > 0, n - 1 > 0로 n > 1인 자연수 즉, n ≥ 2여야 하죠. n = 1이 빠져있으니까 an = Sn - Sn - 1은 제2항부터 나타낼 수 있어요.

그럼 제1항부터 일반항 an으로 나타낼 수 있는지 확인하려면 어떻게 해야 할까요? an에 n = 1을 대입해서 S1과 값이 같으면 제1항도 일반항 an으로 나타낼 수 있어요.

등비수열 제1항부터 제n항까지의 합이 Sn일 때
a1 = S1
an = Sn - Sn - 1   (n ≥ 2인 자연수)
(an에 n = 1을 대입) = S1 → an = Sn - Sn - 1 (n ≥ 1인 자연수)

등비수열의 합을 보고 일반항 구하기

제1항이 a이고 공비가 r인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 등비수열의 합 공식을 전개해보죠.

a, r은 상수니까 이라고 한다면 식을 아래처럼 바꿀 수 있어요.

Sn = Arn - A

어떤가요? 등비수열의 합에서 rn의 계수와 상수항을 더하면 0이라는 걸 알 수 있어요.

이렇게 간단하게 쓴 등비수열의 합 공식을 이용해서 등비수열의 일반항 an을 구해보죠.

an = Sn - Sn - 1
    = (Arn - A) - (Arn - 1 - A)
    = Arn - Arn - 1
    = Arn - 1 - Arn - 1
    = Arn - 1(r - 1)
    = A(r - 1)rn - 1

이 방법은 n ≥ 2인 일반항을 나타내는 식이에요. 그런데 n = 1일 때도 이 일반항으로 나타낼 수 있으면 좋겠죠? an에 n = 1을 대입해서 S1과 값이 같은지 확인해보죠.

an = A(r - 1)rn - 1
a1 = A(r - 1)r1 - 1 = A(r - 1)

그다음 Sn = Arn - A에도 n = 1을 대입해요.

a1 = S1 = Ar1 - A = A(r - 1)

두 방법으로 구한 a1이 서로 같아요. 그러니까 이 방법은 n ≥ 2일 때뿐 아니라 n = 1일 때도 사용하는 방법이에요.

등비수열의 합을 나타내는 식을 보고 등비수열의 일반항을 바로 구할 수 있어요. 공식으로 외워두면 좋은데 굳이 외우지 않아도 상관은 없어요.

예를 들어 Sn = 10n - 1이 주어졌다고 해보죠.

Sn = 10n - 1 = 1 × 10n - 1로 10n의 계수 1과 상수항 -1을 더하면 0이니까 이 식은 등비수열의 합을 나타내는 식이에요. A = 1, r = 10이죠.

따라서 an = A(r - 1)rn - 1 = 1 × (10 - 1)10n - 1 = 9 × 10n - 1라는 걸 바로 구할 수 있어요.

등비수열의 합은 Sn = Arn - A꼴
이때, an = A(r - 1)rn - 1

Sn = 4n - 2 + x가 등비수열의 합을 나타낸 식일 때 x를 구하여라.

합을 나타내는 식이 Sn = Arn - A꼴이면 등비수열이에요.

Sn = 4n - 2 + x = 4-2 × 4n + x

제1항부터 제n항까지의 수열의 합이 다음과 같을 때 일반항 an를 구하여라.
(1) 2n - 1
(2) 3n + 1 - 3

수열의 합이라고 알려줬는데 어떤 수열인지부터 알아야겠죠? Sn = Arn - A꼴이면 등비수열이에요.

(1) Sn = 2n - 1 = 1 × 2n - 1

등비수열의 합이고 A = 1, r = 2이네요.

an = Sn - Sn - 1
    = 2n - 1 - (2n - 1 - 1)
    = 2n - 2n - 1
    = 2 × 2n - 1 - 2n - 1
    = 2n - 1

n ≥ 2일 때는 일반항으로 나타낼 수 있는데, a1도 이 일반항으로 나타낼 수 있는지 알아보죠.

a1 = S1 = 21 - 1 = 1

an = 2n - 1
a1 = 21 - 1 = 1

S1를 이용해서 구한 a1과 an에 n = 1을 대입해서 구한 a1이 같으니까 모든 항을 일반항 an으로 나타낼 수 있네요.

그래서 답은 an = 2n - 1

(2) Sn = 3n + 1 - 3 = 3 × 3n - 3

Sn = Arn - A꼴로 A = 3, r = 3인 등비수열의 합을 나타내는 식이네요.

공식으로 한 번 풀어볼까요?

Sn = Arn - A일 때, an = A(r - 1)rn - 1

an = 3(3 - 1)3n - 1 = 6 × 3n - 1 = 2 × 3n

이 공식은 유도과정에서 이미 a1도 일반항 an으로 나타낼 수 있다는 것을 증명했으니까 굳이 확인할 필요가 없어요.

따라서 답은 an = 6 × 3n - 1

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정리해볼까요

등비수열의 합과 등비수열의 일반항의 관계

  • 등비수열 제1항부터 제n항까지의 합이 Sn일 때
  • a1 = S1
  • an = Sn - Sn - 1   (n ≥ 2)
  • (an에 n = 1을 대입) = S1 → an = Sn - Sn - 1 (n ≥ 1)

등비수열의 합을 보고 일반항 구하기

  • 등비수열의 합은 Sn = Arn - A꼴
  • an = A(r - 1)rn - 1
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