수열의 활용 - 원리합계. 단리와 복리 1

단리와 복리는 상용로그의 활용에서 해봤어요. 상당히 까다로운 문제였죠? 수열에서 공부하는 단리와 복리는 그보다 조금 더 까다로워요. 원리는 같은데 돈을 넣는 횟수가 많고 돈을 언제 넣느냐에 따라서 그 결과가 달라지거든요. 문제를 풀 때 돈을 넣는 횟수와 돈을 넣는 시기 두 가지를 잘 구별해야 합니다.

단리와 복리에서 돈을 넣는 횟수와 시기에 따라 결과가 왜 달라지는지 이해를 잘해야 해요. 상당히 어렵습니다. 집중해서 잘 보세요. 여기서는 상대적으로 계산이 간단한 단리를 이용해서 설명할게요.

등차수열의 활용

단리와 복리는 상용로그의 활용, 단리와 복리에서 공부했었죠? 단리는 원금에 일정한 이자를 더하는 거고, 복리는 원금은 물론 이자에도 이자를 더하는 거예요.

상용로그에서 공부했던 단리, 복리와 수열에서 공부하는 단리, 복리는 기본적으로 의미는 같지만, 한 가지 중요한 차이가 있어요. 상용로그에서의 단리, 복리는 원금을 처음 딱 한 번만 입금해요. 처음에 딱 한 번만 넣고 5년이든 10년이든 일정한 지났을 때의 금액을 구하는 거죠. 수열의 단리, 복리에서는 원금을 처음에 한 번만 넣는 게 아니라 매달 또는 매년 넣어요. 첫해에 돈을 넣고, 두 번째 해에 또 넣고, 세 번째 해에 또 넣어요. 각 해에 넣는 돈에 모두 이자가 붙는 거죠.

100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 단리로 넣는다고 해보죠.

이 경우는 처음에 한 번만 넣어요. 그러니까 상용로그에서 했던 것처럼 10년 뒤의 금액을 구해보죠. 5% = 0.05네요.

1년 후: 100만 원 + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05)
2년 후: 100만 원(1 + 0.05) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 2)
3년 후: 100만 원(1 + 0.05 × 2) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 3)
10년 후: 100만 원(1 + 0.05 × 9) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 10)

결국 10년 후에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 10)이에요.

여기까지는 상용로그의 활용, 단리와 복리에서 했던 내용 그대로예요.

원리합계 - 매년 초에 입금할 때

이번에는 매년 1월 1일에 100만 원을 넣는 연이율 5%인 예금을 10년 동안 단리로 넣는다고 해보죠. 돈을 한 번만 넣는 게 아니라 매년 넣어요.

이건 한 번에 계산하려면 복잡하니까 해마다 넣는 돈을 하나씩 따로 떼서 보죠. 먼저 첫해에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 이 100만 원은 10년동안 이자가 붙어요. 다시 말해 100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 넣은 거죠. 10년이 지난 뒤에 받는 돈은 위에서 구한 것처럼 100만 원(1 + 0.05 × 10)이에요.

이번에는 두 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 10년 중 1년이 지났으니까 이 100만 원은 9년 동안 이자가 붙어요. 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 9)죠.

이번에는 세 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 이 100만 원은 8년 동안 이자가 붙어요. 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 8)이죠.

이런 방법으로 구해보면, 10년째 되는 해의 1월 1일에 넣는 100만 원은 1년 동안 이자가 붙어서 100만 원(1 + 0.05 × 1)이 돼요.

총 10번의 돈을 넣었는데 이걸 순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 10), 100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 8), …, 100만 원(1 + 0.05 × 2), 100만 원(1 + 0.05 × 1)

이 수열을 거꾸로 한 번 다시 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 2), …, 100만 원(1 + 0.05 × 8), 100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 10)

어떤가요? 제1항이 100만 원(1 + 0.05 × 1)이고 마지막 항은 100만 원(1 + 0.05 × 10), 공차가 100만 원 × 0.05인 등차수열이에요.

수열의 일반항으로 표현해보죠. a_n = 100만 원(1 + 0.05 × n)

10년 뒤에 받는 돈은 총 10번 넣은 돈과 거기에 붙은 이자예요. 위 등차수열의 값을 모두 더한 돈이죠. 첫 항이 a, 마지막 항이 l인 등차수열의 합은 이므로 공식에 넣어보면 답을 구할 수 있어요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 단리로 예금했을 때: 등차수열
a_n = a(1 + rn)
원리합계는 등차수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

원리합계 - 매년 말에 입금할 때

똑같은 상황을 조금만 바꿔보죠. 다른 건 다 똑같고, 매년 말인 12월 31에 100만 원을 넣는다고 해볼까요?

예를 들어 2014년 1월 1일에 100만 원을 넣고 햇수로 10년 뒤면 2023년 12월 31일이에요. 그런데 연말인 2014년 12월 31일에 100만 원을 넣고 햇수로 10년 뒤면 2023년 12월 31이죠. 햇수로 10년이지만 정확하게 날짜로 계산하면 9년밖에 안 돼요. 그러니까 이자는 9년치 이자만 받을 수 있어요.

매년 1월 1일에 넣는 것과 매년 12월 31일 넣는 것의 차이를 이해했나요?

여기서도 매해마다 넣는 돈을 따로 떼서 생각해보죠.

첫해 12월 31일에 100만 원 넣으면 9년치 이자만 받을 수 있으니까 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 9)

두 번째 해 12월 31일에 100만 원 넣으면 8년치 이자만 받을 수 있으니까 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 8)

마지막 열 번째 해 12월 31일에 넣는 100만 원은 그날 바로 찾으니까 이자가 안 붙어요. 100만 원(1 + 0.05 × 0)

순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 8), …, 100만 원(1 + 0.05 × 2), 100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 0)

거꾸로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 0), 100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 2), …, 100만 원(1 + 0.05 × 8), 100만 원(1 + 0.05 × 9)

첫째항이 100만 원이고 마지막 항이 100만 원(1 + 0.05 × 9)인 등차수열이에요. 공차는 100만 원 × 0.05이죠.

수열의 일반항으로 표현하면 a_n = 100만 원{1 + 0.05 × (n - 1)}이에요. 10년 뒤에 받는 돈은 등차수열의 합 공식을 이용해서 구하면 되고요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 단리로 예금했을 때: 등차수열
매년 초에 입금하면 a_n = a(1 + rn)
매년 말에 입금하면 a_n = a{1 + r(n - 1)}
원리합계는 등차수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

돈을 한 번만 입금하는지 매년 입금하는지 잘 살펴야 해요. 그리고 연초에 입금하는지 연말에 입금하는지도 잘 구별해야 하고요.