상용로그의 활용, 단리와 복리

상용로그의 활용에서 빼놓지 않고 나오는 문제는 예금 문제예요. 원금, 기간, 연이율 등을 알려주고 만기 때 얼마를 받을 수 있나를 묻는 문제지요.

물론 계산기로 간단하게 계산할 수 있는 문제이긴 하지만 상용로그의 성질과 상용로그표만 있다면 계산기 없이도 그 값을 구할 수 있어요.

단리와 복리라는 방법으로 계산하는데 이게 상당히 복잡해요. 아마 한 두 번 읽어서는 이해가 안 될 수도 있어요. 여러 번 반복해서 꼼꼼하게 읽어보세요.

상용로그의 활용

먼저 단리와 복리에 대해서 알아보죠.

예를 들어 100만 원을 은행에 넣고 매년 1%의 이자를 10년 동안 단리로 받는다고 해보죠.

첫해에는 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 줘요. 총 101만 원이죠.
두 번째 해에도 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 주죠. 총 102만 원이 됐어요.
세 번째 해도, 네 번째 해도 매년 1만원을 이자로 줍니다.

결국, 10년동안 1만 원씩 10번을 주니까 총 10만 원의 이자를 받죠. 물론 원금 100만 원도 받고요. 100만 원이 10년 후에는 110만 원이 돼요.

이걸 식으로 나타내보죠. 1% = 0.01이군요.

첫해: 100만원 + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)
두 번째 해: 100만원(1 + 0.01) + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01 + 0.01) = 100만원(1 + 0.02)
세 번째 해: 100만원(1 + 0.02) + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.02 + 0.01) = 100만원(1 + 0.03)
n 번째 해: 100만원 + 100만원 × 0.01 × n = 100만원(1 + 0.01 × n)

이게 단리예요. 원금은 일정하고 그에 대한 이자만 지급하는 방식이에요.

복리는 조금 복잡해요.

똑같이 100만 원을 은행에 넣고 매년 1%의 이자를 10년 동안 복리로 받는다고 해보죠.

첫해에는 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 줘요. 총 101만 원의 돈이 있어요.
두 번째 해에는 원금 100만 원의 1%인 만 원만 이자로 주는 게 아니에요. 원금 100만 원에 전년도에 받은 이자 1만 원까지 101만 원의 1%인 1만 1백 원을 이자로 주지요. 총 102만 1백 원이 있어요.
세 번째 해에는 원금 100만 원에 첫해에 받은 이자 1만 원, 두 번째 해에 받은 1만 1백 원까지 해서 102만 1백 원의 1%인 1만 201원을 이자로 줘요. 총 103만 301원이 있어요.

이걸 식으로 나타내보죠.

첫 해: 100만원 + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)
두 번째 해: 100만원(1 + 0.01) + 100만원(1 + 0.01) × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)(1 + 0.01) = 100만원(1 + 0.01)²
세 번째 해: 100만원(1 + 0.01)² + 100만원(1 + 0.01)² × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)²(1 + 0.01) = 100만원(1 + 0.01)³
n 번째 해: 100만원(1 + 0.01)ⁿ

복리는 이렇게 단리와 다르게 이자에도 이자를 쳐줘요. 그래서 단리보다 계산도 복잡하고 마지막에 받는 돈도 더 많이 받죠.

원금을 A, 이율을 r%라고 할 때 n년 후의 원리합계
단리: 원, 복리: 원

1000만 원을 연이율 5%로 10년간 예금하려고 한다. 단리로 계산할 때와 복리로 계산할 때의 10년 후 원리합계의 차이는 얼마인지 구하여라. (log1.05 = 0.0212, log1.63 = 0.2122)

먼저 단리로 계산해보죠.

15,000,000원이네요.

복리로 계산해보죠.

1.05¹⁰을 구하려면 구할 수는 있어요. 하지만 상용로그값이 나와 있으니 이걸 활용해볼까요?

1.05¹⁰에 상용로그를 취해보죠.

log1.05¹⁰ = 10 × log1.05 = 10 × 0.0212 = 0.212

우리가 알아야하는 건 1.05¹⁰인데, 실제로 구한 건 log1.05¹⁰ = 0.212에요. 그럼 여기서 1.05¹⁰을 어떻게 구할까요? 두 상용로그의 값이 같으려면 진수가 같아야 해요. 상용로그표에서 0.212라는 상용로그값을 갖는 진수를 찾으면 그 진수와 1.05¹⁰가 같다는 거지요.

똑같은 값은 없고 log1.63 = 0.2122로 0.212와 가장 가깝네요.

즉 log1.05¹⁰ = 0.212 ≒ 0.2122 = log1.63

1.05¹⁰ ≒ 1.63이라는 걸 구했어요. 실제로 1.05¹⁰ ≒ 1.6289에요.

이제 식에 대입해보죠.