상용로그, 상용로그의 지표와 가수

거듭제곱근에서 제곱근이 기본인 것처럼 로그의 기본은 상용로그예요.

이 글에서는 상용로그가 무엇인지, 상용로그에서 사용하는 용어인 지표와 가수가 무엇인지에 대해서 알아볼 거예요. 또 이 지표와 가수는 어떤 특징이 있는지도 알아볼 거고요. 지표와 가수의 성질을 이용하면 2¹⁰⁰처럼 엄청 큰 숫자를 직접 구해보지 않아도 몇 자리 자연수인지 쉽게 알 수 있어요. 예제를 통해서 직접 구해보죠.

상용로그

10을 밑으로 하는 로그를 상용로그라고 해요. 거듭제곱에서 지수 1은 생략하죠? 제곱근에서 의 2를 생략하는 것처럼 상용로그에서는 밑 10을 생략해요.

log₁₀2 = log2
log₁₀10 = log10 = 1
log₁₀100 = log100 = log10² = 2

상용로그의 지표와 가수

일반적으로 양수 N은 N = a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10, n은 정수)으로 나타낼 수 있죠?

123 = 1.23 × 10²
0.123 = 1.23 × 10^-1

N = a × 10ⁿ의 양변에 상용로그를 취해보죠.

logN = log(a × 10ⁿ)
logN = loga + log10ⁿ
logN = n + loga

1 ≤ a < 10에 상용로그를 취해보죠.

log1 ≤ loga < log10
0 ≤ loga < 1

loga는 소수예요.

logN = n + loga에서 정수 부분 n을 logN의 지표, 소수 부분인 loga를 logN의 가수라고 해요.

상용로그의 지표와 가수

중3 때 공부했던 무리수의 정수 부분과 소수 부분에서 무리수를 정수 부분과 소수 부분의 합으로 나타내는 것처럼 상용로그도 정수 부분과 소수 부분의 합으로 나타낼 수 있어요.

log1.23 = 0.0899일 때 다음 상용로그의 지표와 가수를 구하여라.
(1) log123
(2) log12300
(3) log0.123
(4)

양수 N = a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10, n은 정수)로 바꾸고 상용로그를 취하여 logN = n + loga가 되었을 때 정수 부분 n을 지표, 0 ≤ loga < 1인 소수 부분을 가수라고 해요.

(1) log123 = log(1.23 × 10²)
log123 = log1.23 + log10²
log123 = 2log10 + log1.23
log123 = 2 + 0.0899

지표는 2, 가수는 0.0899

(1) log12300 = log(1.23 × 10⁴)
log12300 = log1.23 + log10⁴
log12300 = 4log10 + log1.23
log12300 = 4 + 0.0899

지표는 4, 가수는 0.0899

(3) log0.123 = log(1.23 × 10^-1)
log0.123 = log1.23 + log10^-1
log0.123 = -1 + 0.0899

지표는 -1, 가수는 0.0899

(4)번은 진수가 분수네요. 로그의 뺄셈으로 바꿀 수 있죠?

지표는 -2, 가수는 -0.0899일까요? 아니에요. 가수의 범위는 0 ≤ 가수 < 1인데, 여기서는 0보다 작아요.

무리수의 정수 부분과 소수 부분에서 음수인 무리수는 어떻게 했나요? 0 ≤ (소수 부분) < 1이어야 하니까 소수 부분이 음수일 때 소수 부분에는 (+1)을 정수 부분에는 (-1)을 해줬어요. 여기서도 똑같이 소수 부분에 (+1), 정수 부분에 (-1)을 해줘요.

-2 - 0.0899
= (-2 - 1) + (1 - 0.0899)
= -3 + 0.9101

지표는 -3, 가수는 0.9101

(3)번에서는 지표는 음수지만 0 ≤ 가수 < 1를 만족하니까 그냥 그대로 둔 거고 (4)번은 가수가 0보다 작아서 +1, -1을 해줘서 값을 바로잡은 거예요.

상용로그의 값이 음수일 때 지표와 가수

위 예제에서

log123 = 2 + 0.0899 = 2.0899
log0.123 = -1 + 0.0899 = -0.9101

log123은 log123 = 2 + 0.0899으로 쓰여 있으나 log123 = 2.0899로 쓰여 있으나 지표와 가수를 알아보기 쉬워요.

log0.123 = -1 + 0.0899로 쓰여 있으면 지표와 가수를 알아보기 쉬워요. 그런데 log0.123 = -0.9101로 되어 있으면 지표와 가수를 알아보기 힘들죠? 그래서 log0.123 = -1 + 0.0899 = 로 쓰기도 해요. 음수인 지표 위에 윗줄(bar)를 긋고 양수인 가수는 그냥 그대로 소수점 이하 숫자로 적는 거죠.

= -3 + 0.9101에서 지표는 -3이니까 위에 줄을 그어서 , 그 뒤에 가수 0.9101을 그대로 붙인 로 나타내죠.

이런 표현법은 음수인 지표와 양수인 가수를 한꺼번에 쓴 거니까 일반적인 양수, 음수와 달라요.

≠ -3.9101

= -3 + 0.9101
-3.9101 = -3 - 0.9101

상용로그 지표와 가수의 성질

몇 가지 더 구해볼까요?

log1.23 = 0 + 0.0899
log12.3 = log(1.23 × 10¹) = log1.23 + log10¹ = log10 + log1.23 = 1 + 0.0899
log1230 = log(1.23 × 10³) = log1.23 + log10³ = 3log10 + log1.23 = 3 + 0.0899
log0.0123 = log(1.23 × 10^-2) = log1.23 + log10^-2 = -2log10 + log1.23 = -2 + 0.0899

앞의 예제와 위에서 구한 상용로그들을 순서대로 적어보죠.

log1.23 = 0 + 0.0899
log12.3 = 1 + 0.0899
log123 = 2 + 0.0899
log1230 = 3 + 0.0899
log12300 = 4 + 0.0899
log0.123 = -1 + 0.0899
log0.0123 = -2 + 0.0899

어떤 특징이 있나요?

일단 제일 먼저 눈에 띠는 건 가수가 모두 같아요. 진수가 1.23, 12.3, 123, 1230, 12300, 0.123, 0.0123으로 숫자들의 배열은 같고 소수점의 위치만 다를 때 가수가 모두 같죠.

두 번째는 1.23, 12.3, 123, 1230, 12300으로 진수의 자리수가 하나 늘어날 때마다 지표가 1씩 커지죠? 진수의 정수 부분이 한 자리면 지표는 0, 진수의 정수 부분이 두 자리면 지표가 1이에요. 진수의 정수 부분의 자릿수보다 지표가 1작아요. 진수의 정수 부분이 n자리면 지표는 n - 1이죠.

정수 부분이 0일 때는 어떤가요? 0.123에서 정수 부분이 0으로 한 자리니까 지표는 -1이죠. 그런데, 0.0123에서 정수 부분이 0으로 한 자리인데 지표는 -2죠? 정수 부분이 n자리면 지표가 n - 1이라는 건 진수의 정수 부분이 0일 때는 성립하지 않는 걸 알 수 있어요.

정수 부분이 0일 때는 다른 특징이 있어요.

0.123에서는 소수점 이하 첫 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나와요. 그리고 이때의 지표는 -1이죠. 0.0123에서는 소수점 이하 두 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오고 이때의 지표는 -2예요.

즉 진수의 정수 부분이 0일 때는 소수점 이하에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오는 자리수가 지표와 같아요. 소수점 이하 n번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오면 지표는 -n이에요. -n은 이라고도 표시하죠?

지표와 가수의 성질
진수의 정수 부분이 0보다 클 때: 정수 부분의 자릿수가 n이면 상용로그의 지표는 n - 1
진수의 정수 부분이 0일 때: 소수점 이하에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오는 자리가 n이면 상용로그의 지표는 -n()
진수의 숫자 배열이 같고 소수점의 위치만 다를 때: 상용로그의 가수가 같다.

이 지표와 가수의 성질을 알면 위의 예제처럼 로그의 성질을 이용해서 계산을 하지 않고 진수만 보고 바로 지표와 가수를 바로 알아낼 수 있어요.

log1.23 = 0.0899일 때, log1230000의 지표와 가수를 구해보죠.

1230000은 정수 부분이 7자리이므로 지표는 6, 진수의 숫자 배열이 같고 소수점의 위치만 다르니까 가수는 같아요.

log1230000 = 6 + 0.0899

log2 = 0.3010, log3 = 0.4771일 때 다음을 구하여라.
(1) 2¹⁰⁰는 몇 자리의 자연수인지 구하여라.
(2) 은 소수 몇 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나는지 구하여라.
(3) 6⁵⁰은 몇 자리의 자연수인지 구하여라.

(1) 2¹⁰⁰에 상용로그를 취해보죠.

log2¹⁰⁰ = 100 × log2 = 100 × 0.3010 = 30.10 = 30 + 0.10

지표가 30이므로 진수 2¹⁰⁰의 정수 부분은 31자리네요. 따라서 2¹⁰⁰은 31자리 자연수입니다.

(2) 도 상용로그를 취해보죠.

지표가 -61이므로 소수점 이하 61번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나와요.

(3) 6⁵⁰에 상용로그를 취해보죠

log6⁵⁰ = 50 × log6 = 50 × (log2 + log3) = 50 × (0.3010 + 0.4771) = 50 × 0.7781 = 38.905 = 38 + 0.905

지표가 38이므로 진수 6⁵⁰은 정수 부분이 39자리입니다. 따라서 6⁵⁰은 39자리 자연수네요.