소수는 소수점 앞의 정수부분과 소수점 뒤의 소수부분으로 이루어져 있어요. 일반적인 유리수라면 소수점을 기준으로 해서 간단하게 구별할 수 있지만 무리수는 딱 떨어지는 숫자가 아니라 순환하지 않는 무한소수에요. 소수부분이 끝도 없이 계속되니까 그냥 0.xxx라는 숫자로 표현하기에는 정확하지 않아요.

이 글에서는 유리수처럼 무리수의 정수부분과 소수부분을 나누는 방법과 소수부분의 정확한 값을 구하는 방법을 공부할꺼에요. 정수부분만 잘 구하면 소수부분 구하는 건 쉬워요.

무리수의 정수부분과 소수부분

root 2는 1보다는 크고, 2보다는 작아요. 1 < root 2 < 2

근삿값을 구하면 root 2 ≒ 1.414 인데, 1 + 0.414로도 쓸 수 있죠? 여기서 소수점 앞의 1을 정수부분, 소수점 뒤의 0.414를 소수부분이라고 해요.

root 2처럼 제곱근의 근삿값을 알고 있을 때는 근삿값을 이용해서 구할 수도 있지만 근삿값을 모를 때는 제곱근의 대소관계를 통해서도 구할 수 있어요.

이므로 root 5의 정수부분은 2

이므로 의 정수부분은 3

무리수가 하나만 있을 때는 정수부분을 구할 수 있겠죠? 그리고root 5 +  2처럼 무리수와 다른 수의 합, 차일 때는 일단 무리수의 정수부분만 구하고 거기에 유리수를 더해주면 됩니다.

2 < root 5 < 3 에서 모든 변에 +2를 해주는 거죠. 부등식의 성질에 따르면 똑같은 수를 더해줘도 부등호는 바뀌지 않아요.

2 + 2 < root 5 + 2 < 3 + 2
4 < root 5 + 2 < 5

따라서 root 5 + 2의 정수부분은 4

정수부분은 구하고 나면 소수부분을 구해야하는데, 1.414에서 소수부분 0.414는 정확한 값이 아니라 근삿값이죠? 정확한 값을 구하는 다른 방법이 있어요.

(무리수) = (정수부분).(소수부분)으로 되어 있지요? 이건 (정수부분) + (소수부분)이라고 쓸 수 있어요. 이 식에서 (정수부분)을 이항하면 우변에 소수부분만 남아요. (소수부분) = (무리수) - (정수부분). 정수부분은 위에서 구했으니까 바로 대입할 수 있겠죠?

무리수 = 정수부분 + 소수부분    (0 ≤ 소수부분 < 1)
정수부분은 제곱근의 대소관계를 이용
소수부분 = 무리수 - 정수부분

다음 무리수의 정수부분과 소수부분을 구하여라.
(1) 5 + root 5
(2) root 3 - 3

무리수의 정수부분은 제곱근의 대소관계를 이용해서 구해요. 소수부분 = 무리수 - 정수부분을 이용해서 구하고요.

(1) 일단 root 5만 따로 떼서 크기를 구하고 거기에 +5를 해서 정수부분을 구해요.
2 < root 5 < 3
5 + 2 < 5 + root 5< 5 + 3
7 < 5 + root 5 < 8

정수부분은 7이네요.

소수부분 = 무리수 - 정수부분 = (5 + root 5) - 7 = root 5 - 2

(2)에서는 root 3만 먼저 보죠.
1 < root 3 < 2
1 - 3 < root 3 - 3 < 2 - 3
-2 < root 3 - 3 < -1

root 3 - 1이 -2와 -1 사이에 있으니까 소수로 표현해보면 -1.xxx죠? 그럼 정수부분은 -1이에요.

소수부분 = 무리수 - 정수부분 = (root 3 - 3) - (-1) = root 3- 2

무리수 = 정수부분 + 소수부분
root 3 = -1 + (root 3 - 2)

그런데, root 3 ≒ 1.736 이니까 root 3 - 2 ≒ 1.732 - 2 = -0.268죠. 소수부분은 0이상, 1미만으로 표시하기로 했어요. 음수로 나왔으니까 값을 보정해줘야겠죠? 어떻게 하냐면 음수인 소수부분에 +1을 해줘요. 그럼 값이 달라지죠? 그래서 정수부분에 -1을 해주는 거예요.

root 3 = -1 - 1 + (root 3 - 2 + 1)
          = -2 + (root 3 - 1)

정수부분 = -2, 소수부분 = root 3 - 1이 답이에요.

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정리해볼까요

무리수의 정수부분과 소수부분

  • 정수부분은 제곱근의 대소관계를 이용
  • 소수부분 = 무리수 - 정수부분
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